Представление материи в уравнениях поля.

Прежде чем приступить к нахождению дифференциальных уравнений гравитационного поля, остановимся кратко на представлении гравитационной массы в уравнениях и их решениях.

Гравитационное поле создается гравитационными массами, так же как электромагнитное поле создается электрическими зарядами. Эти заряды могут рассматриваться в двух совершенно различных аспектах. Когда Максвелл получил свои уравнения поля, еще не был известен атомистический характер электрических зарядов. Максвелл предполагал, что заряд равномерно распределяется по объему заряженного диэлектрика, по поверхности проводника и т. п. Соответственно этому он ввел понятия плотности заряда и плотности тока. Эти четыре плотности представляются нашим мировым вектором который входит в систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Аналогичным образом можно составить уравнения поля, в которых гравитационная масса представляется мировым тензором Р, тензором энергии-импульса. Десять компонент этого тензора Р должны быть равны десяти дифференциальным выражениям второго порядка, образованным из компонент метрического тензора. Эти десять выражений должны, конечно, преобразовываться как т. е. как компонента симметричного тензора второго ранга. Только в этом случае уравнения поля будут ковариантны.

После того как физиками была обнаружена атомистическая структура электрического заряда, т. е. выяснено, что носителями заряда обязательно являются отдельные частицы — электроны и ионы (а теперь можно добавить — и мезоны), Лорентц описал электромагнитные свойства материи при помощи новой модели. С его точки зрения в подавляющей части пространства не содержится электрических зарядов. Электрические заряды он рассматривал, как точечные, представляющие собой особые (сингулярные) точки электромагнитного поля. Вне зарядов электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла для свободного от зарядов пространства. В месте нахождения каждого точечного заряда уравнения не удовлетворяются — такая точка является особой точкой поля. Хотя уравнения поля теряют смысл в некоторых точках, все же благодаря тому, что уравнения поля справедливы в окрестностях каждой такой сингулярной области, содержащей особую

точку, величина заряда в этой сингулярной области остается неизмененной. Полный заряд внутри замкнутой поверхности, окружающей особую точку, определяется интегралом

а его изменение во времени равно

Если уравнения поля удовлетворяются на всей поверхности S (т. е. если через поверхность не течет электрический ток), то согласно формуле (7.4), правая часть которой предполагается равной нулю, можно заменить через . Но по теореме Стокса интеграл по замкнутой поверхности от равен нулю; отсюда убеждаемся, что 6 не меняется с течением времени, даже если не делать никаких предположений относительно поля внутри поверхности.

Несмотря на предположение о наличии особых областей, поле вне этих областей остается строго определенным. Благодаря этому Лорентц сумел показать, что старая теория Максвелла, предполагающая непрерывное распределение зарядов и токов, является апроксимацией его собственной теории, в которой заряды рассматриваются, как особые точки поля.

Мы можем использовать указанную точку зрения Лорентца для представления материи в теории гравитации. Вместо того чтобы представлять материю при помощи тензора энергии-импульса предположим, что гравитационная масса заключена в небольших областях пространства, в остальном совершенно свободного от гравитационной материи. Дифференциальные уравнения гравитационного поля будут справедливы только вне областей нахождения массы: это будут уравнения поля в пустом пространстве.

Области, в которых сосредоточена масса, т. е. точечные массы", будут являться сингулярными областями поля.

Представление материи с помощью тензора поля можно рассматривать, как усреднение по большому числу точечных масс и их состояниям движения, точно так же как понятие плотности электрического заряда может рассматриваться как среднее число элементарных зарядов на единицу объема. С другой стороны, описание материи при помощи точечных масс также может быть использовано в качестве удобной апроксимации в том случае, когда компоненты тензора отличны от нуля только в небольших изолированных областях пространства. Это имеет место, например, в солнечной системе, где материя сконцентрирована главным образом внутри небесных тел, тогда как вне этих областей все компоненты равны нулю. Каждая из этих областей может быть заменена точечной массой, благодаря чему рассмотрение всей системы сильно упрощается.

Оба представления материи — при помощи точечных масс или как сплошной среды — оказываются недостаточными при более строгом подходе, так как ни одно из них не является удовлетворительным при рассмотрении квантовых эффектов атомной физики. В обычной же области применения теории гравитации — астрономии — встречаются примеры использования обоих представлений. При определении внутренних напряжений в звезде или при описании поведения целой туманности, содержащей миллионы отдельных звезд, материю можно рассматривать как сплошную среду. С другой стороны, если стоит задача описания движения небольшого числа небесных тел, например тел, составляющих солнечную систему, материя может считаться состоящей из отдельных точечных масс.

Независимо от того, рассматривается ли материя как сплошная среда или как отдельные точечные массы, мы предположим, что число уравнений поля равно числу переменных поля, т. е. десяти. Кроме того, эти уравнения должны быть дифференциальными уравнениями второго порядка относительно так как они должны содержать

неоднородности напряженности гравитационного поля; кроме того, они должны быть ковариантны относительно общих, преобразований координат.

Если рассматривать материю как сплошную среду, тензорное поле Р должно всюду быть приравнено к некоторому тензорному полю (которое еще необходимо найти), содержащему дифференциальные выражения второго порядка относительно . С другой стороны, если материю представлять в виде точечных масс, те же самые дифференциальные выражения должны обращаться в. нуль кроме некоторых изолированных областей, в которых находятся точечные массы. В этих областях решения уравнений поля имеют особенность.