Геометрия замкнутого пятимерного мира.

В то время как проективные теории, в частности теория Эйнштейна-Майера, рассматривают пространство как четырехмерное, а пятое измерение вводят только как средство для построения нового типа тензорного анализа, теория, рассмотренная в указанных двух статьях, пытается придать пятому измерению более определенный физический смысл.

Физические соображения оправдывают создание такой теории. Не выходя за пределы четырехмерной теории поля, представляется невозможным даже принять во внимание результаты квантовой теории, в частности принцип неопределенности Гейзенберга. Так как описание пятимерного мира при помощи четырехмерного формализма является неполным, была надежда, что из неопределенности „четырехмерных законов можно получить принцип неопределенности и что квантовые явления в конце концов смогут быть объяснены теорией поля. В настоящее время очевидно, что эти смелые надежды не оправдались. Вообще, вопрос о том, выдержит ли какой-либо пятимерный подход проверку времени, покажет будущее.

Во всяком случае, макроскопический мир четырехмерен» поэтому пятимерный мир должен быть, по крайней мере, приближенно цилиндрическим относительно пятого измерения. Из этих соображений Эйнштейн и его сотрудники предположили, что мир является замкнутым по отношению к пятой координате и представляет собой нечто вроде трубы.

Если вырезать из пятимерного континуума тонкий бесконечно протяженный слой и отождествить его две открытые (четырехмерные) поверхности, получится модель такого замкнутого пятимерного пространства. Все функции поля предполагаются, конечно, непрерывными при переходе через шов“, и поэтому, если трубка достаточно узка (т. е. если слой достаточно тонок), изменение величин поля поперек нее будет мало по сравнению с их изменениями вдоль трубки.

Геометрия замкнутого пятимерного пространства предполагается римановой. Это налагает еще одно

ограничительное условие, которое уменьшает число переменных поля от 15 до 14. Метрику теории Калуза мы называли А-цилиндрической. Другими словами, пространство Калуза является цилиндрическим не только относительно некоторого векторного поля, но и относительна поля единичных векторов А. В силу этого А-кривые Калуза являются геодезическими, и в специальной системе координат равна единице. В рассматриваемой геометрии условие цилиндричности Калуза заменяется условием замкнутости пятимерного пространства. Кроме того, предполагается, что геодезические линии вокруг цилиндра, соединяющие данную точку с нею же самой, пересекаются под углом, равным нулю, т. е. являются замкнутыми непрерывными кривыми. Это условие заменяет условие Калуза о цилиндричности его пространства относительно поля единичных векторов.

Через каждую точку пятимерного пространства проходит одна и только одна замкнутая геодезическая линия.

Длину такой линии, один раз обходящей вокруг цилиндра и возвращающейся в исходную точку, будем называть „периметром" пространства в пятом измерении. Докажем теперь, что этот периметр везде имеет одну и ту же величину.

Рассмотрим замкнутую геодезическую линию, проходящую через точку Р. Ее длина S равна

где — произвольная функция координат; путь интегрирования является замкнутой геодезической линией. Изменим теперь координаты каждой точки вдоль этой замкнутой геодезической линии на бесконечно малую величину так, чтобы получить новую линию. „Конечная точка" Р не считается при этом фиксированной. Разность между длиной

новой линии и длиной старой линии будет равна:

где точки означают дифференцирование по угловому расстоянию от Р. Интегрируя по частям, получим:

Выражение в круглых скобках равно нулю, так как первоначальная линия геодезическая. Поэтому вариация зависит только от вариации координат в двойной конечной точке

Выражение в квадратных скобках является скалярным произведением двух векторов: и поэтому инвариантно. Так как на двух границах в действительности представляет одно и то же бесконечно малое смещение, а — то же направление, оба члена взаимно уничтожаются и обращается в нуль. Таким образом, S остается постоянным при таком переходе от одной замкнутой

геодезической линии к другой, когда варьирование происходит так, чтобы все промежуточные линии были геодезическими.

Периметр замкнутого пространства, в котором все пересекающие сами себя геодезические линии являются замкнутыми и непрерывными (без разрывов производной), является, таким образом, постоянной, характеризующей пространство.

Векторы, касательные к замкнутым геодезическим образуют поле единичных векторов. Обозначим это поле через А и применим к замкнутому пятимерному пространству формализм, рассмотренный в предыдущей главе.

Так как -поле состоит из векторов, касательных к геодезическим, оно удовлетворяет дифференциальным уравнениям.

что означает согласно уравнениям (17.17) и (17.21), что Л-метрика.

является А-цилиндрической. Уравнение (18.6) принимает особенно простой вид в специальной системе координат.