Свертывание тензора кривизны.

При помощи свертывания из тензора кривизны можно получить тензоры более низкого ранга, а именно, следующие тензоры: все остальные свернутые тензоры равны нулю в силу антисимметрии относительно индексов

Приведенные выше четыре тензора второго ранга равны между собой с точностью до знака, так как они получаются один из другого перестановкой индексов в одной из пар или перестановкой самих пар индексов. Свернутый тензор принято обозначать через . В силу свойств симметрии тензор симметричен в своих индексах.

Свертывая, далее, получим так называемую скалярную кривизну :

, выражается через символы Кристоффеля следующим образом:

Симметрия относительно индексов к I очевидна во всех членах, кроме первого. Выражение из которого получается первый член, может быть представлено в виде

Разность антисимметрична относительно и и после умножения на обращается в нуль. В скобках остается только второй член:

Первый член в (11.43) поэтому равен

и тоже симметричен в