Геодезические линии.
Символы Кристоффеля связаны не только с ковариантным дифференцированием или с параллельным переносом. Они также тесно связаны с задачами, непосредственно относящимися к метрике пространства,
например с задачей нахождения дифференциальных уравнений „прямых" линий, т. е. кратчайших линий в пространстве обобщенных координат. В эвклидовом пространстве кратчайшей линией, соединяющей две точки, является прямая. В общем случае римановых пространств линии, обладающие свойствами прямой, могут и не существовать; однако, вообще говоря, можно однозначно определить линию, являющуюся кратчайшей между двумя точками. Например, на поверхности сферы этими линиями являются большие круги. Такие кратчайшие линии называются геодезическими. Длина произвольной линии, соединяющей две точки 
равна
где 
— произвольный параметр.
Чтобы найти минимум выражения 
при фиксированных пределах интегрирования, произведем варьирование согласно уравнениям Эйлера-Лаграижа:
Экстремали при этом определяются уравнениями
В нашем случае лагранжианом является подинтегральная функция в последнем выражении уравнения (5.93), где роль переменных 
играют координаты Производные 
даются выражениями обозначает здесь 
Далее
Отсюда имеем:
Выражение в скобках симметризуем по индексам 
так как они умножаются на выражения, симметричные относительно этих индексов:
В скобках стоит то же самое выражение, что и в уравнении (5.89 а). Дифференциальные уравнения геодезических линий, таким образом, получаем в виде
или после умножения на 
Если за параметр выбрать длину дуги, последний член исчезает, и мы получаем
В декартовой системе координат второй член тождественно равен нулю, и уравнение (5.99) в этом случае выражает просто тот факт, что 5 является линейной функцией от 
