Вариационный принцип.

Классические уравнения поля (10.7) могут рассматриваться, как уравнения Эйлера-Лагранжа вариационной задачи (или принципа Гамильтона)

где интеграл распространяется по всему трехмерному объему V; вариация произвольна внутри области интегрирования V и исчезает на ее границах. Вариацию интеграла (12.40) можно представить следующим образом:

Первый интеграл последнего выражения равен нулю в силу того, что исчезает на границах. Поэтому

и из того, что произвольно внутри V, следует, что интеграл экстремален только, когда G удовлетворяет уравнению

Аналогично релятивистские уравнения поля (12.4) могут рассматриваться, как уравнения Эйлера-Лагранжа принципа Гамильтона. В этом случае интеграл распространяется по четырехмерному объему

Вариации их первых производных) попрежнему произвольны внутри четырехмерной области интегрирования D и должны исчезать на ее границах.

Интеграл является инвариантом. Подинтегральное выражение

представляет собой скалярную плотность, преобразующуюся по закону

поэтому преобразуется следующим образом:

Из теории кратных интегралов известно, что при переходе к новым переменным интегрирования подинтегральное

выражение умножается на якобиан преобразования, другими словами, I — тот же интеграл, что и :

Уравнения Эйлера-Лагранжа выражают необходимые условия стационарности некоторого интеграла относительно вариации переменных, входящих в его подинтегральную функцию. Если интеграл инвариантен относительно преобразования координат, соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа выражают условия, которые не могут зависеть от выбора координат; другими словами, уравнения Эйлера-Лагранжа для инвариантного принципа Гамильтона являются ковариантными дифференциальными уравнениями.

Выразим теперь вариацию интеграла

через вариации . Разобьем вариацию интеграла на две части следующим образом;

Предварительно выразим вариацию через вариации символов Кристоффеля:

Известно, что символы Кристоффеля не являются тензорами, так как они преобразуются согласно закону (5.81). Однако если в одном и том же пространстве определить две различные аффинные связности, то их разность будет преобразовываться как смешанный тензор третьего ранга, так как последний член в уравнении (5.81) сократится с подобным ему.

Вариация символа Кристоффеля является тензором, ибо она представляется разностью двух аффинных связностей, варьированного и неварьированного символов Кристоффеля.

Так как левая часть (12.47) является тензором, то правая часть может содержать только ковариантные производные тензора Действительно, непосредственное вычисление показывает, что правая часть (12.47) равна

Возможность такого упрощения (12.47) впервые была указана Палатини. Умножим обе части равенства (12.48) на Здесь можио ввести под знак дифференцирования, поскольку ковариантная производная метрического тензора равна нулю:

Это выражение представляет собой ковариантную дивергенцию вектора. В задаче 10, б) главы V было установлено, что ковариантная дивергенция V может быть представлена в виде

Используя эту формулу для подинтегрального выражения первого интеграла правой части уравнения (12.46), получим:

Это выражение является, таким образом, обычной дивергенцией. По теореме Гаусса (которая в -мерном пространстве так же справедлива, как и в трехмерном) интеграл

может быть преобразован в интеграл по граничной поверхности; этот интеграл равен нулю в силу того, что вариация исчезает на всей граничной поверхности.

Остается второй интеграл уравнения (12.46). равно просто выражению:

что после умножения на дает

Отсюда для вариации I получаем выражение:

Таким образом, уравнения (12.4) являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для принципа Гамильтона (12.43).