Специальный тип системы координат.
Отвлекаясь от ковариантных предположений, касающихся поля А, которое характеризует данную единую теорию поля, следует отметить, что большинство авторов ограничивается рассмотрением специального типа системы координат, в которой параметры
отождествляются с первыми четырьмя координатами
в то время как пятая координата выбирается так, чтобы компонента
вектора А равнялась единице. Остальные четыре компоненты
равны нулю. Систему координат, удовлетворяющую этим условиям, назовем «специальной системой координат». Единственными преобразованиями координат, переводящими одну «специальную систему координат» в другую, будут преобразования типа
Такие преобразования назовем «специальными преобразованиями координат».
В специальной системе координат метрический тензор имеет компоненты
где
представляют собой первые четыре ковариантных компоненты А:
Закон преобразования
таков же, как и для
-тензоров, и поэтому не зависит от функции
в (17.52). С другой стороны,
преобразуются согласно законам
Таковы законы преобразования гравитационных и электромагнитных потенциалов относительно «координатных" и «градиентных преобразований. (Выражение „градиентное преобразование не следует понимать в смысле градиентных преобразований Вейля.)
Различные дифференциальные операции, рассмотренные в настоящей главе, принимают в специальной системе координат специфическую форму,
-дифференцирование сводится просто к дифференцированию по
Чтобы получить выражение для
-производных, найдем сперва значения
в специальной системе координат:
Для
-производных получим выражения
-тензор
приводится к виду
Вектор
имеет компоненты
а для скаляра
получим
Детерминант
можно выразить только через
Умножая последний столбец его [см. (17.53)] на
и вычитая результат из первого столбца, получим