Специальный тип системы координат.

Отвлекаясь от ковариантных предположений, касающихся поля А, которое характеризует данную единую теорию поля, следует отметить, что большинство авторов ограничивается рассмотрением специального типа системы координат, в которой параметры отождествляются с первыми четырьмя координатами в то время как пятая координата выбирается так, чтобы компонента вектора А равнялась единице. Остальные четыре компоненты равны нулю. Систему координат, удовлетворяющую этим условиям, назовем «специальной системой координат». Единственными преобразованиями координат, переводящими одну «специальную систему координат» в другую, будут преобразования типа

Такие преобразования назовем «специальными преобразованиями координат».

В специальной системе координат метрический тензор имеет компоненты

где представляют собой первые четыре ковариантных компоненты А:

Закон преобразования таков же, как и для -тензоров, и поэтому не зависит от функции в (17.52). С другой стороны, преобразуются согласно законам

Таковы законы преобразования гравитационных и электромагнитных потенциалов относительно «координатных" и «градиентных преобразований. (Выражение „градиентное преобразование не следует понимать в смысле градиентных преобразований Вейля.)

Различные дифференциальные операции, рассмотренные в настоящей главе, принимают в специальной системе координат специфическую форму, -дифференцирование сводится просто к дифференцированию по

Чтобы получить выражение для -производных, найдем сперва значения в специальной системе координат:

Для -производных получим выражения

-тензор приводится к виду

Вектор имеет компоненты

а для скаляра получим

Детерминант можно выразить только через Умножая последний столбец его [см. (17.53)] на и вычитая результат из первого столбца, получим

Отсюда найдем для :

В специальной системе координат производные А-цилиндрического -тензора по равны нулю. Если производные (обычного) тензора по равны нулю в одной специальной системе координат, то они равны нулю в каждой специальной системе координат, и мы будем называть такой пятимерный тензор А-цилиндрическим.

Оказывается, что (обычные) производные тензоры по образуют тензор того же типа. В общей системе координат эти дифференциальные выражения имеют вид:

Если этот тензор равен нулю, то тензор называется -цилиндрическим. Как и выше, метрический тензор у будет А-цилиндрическим в том случае, когда удовлетворяются уравнения Киллинга (17.22). Согласно обобщенному определению А-цилиндричности, А-цилиндричны, в то время как вообще говоря, таковыми не являются.