Задача

1. На стр. 62 обсуждался один из способов измерения длины движущегося стержня. Мы можем также определять длину движущегося стержня, вычисляя произведение его скорости на интервал времени между двумя последовательными прохождениями концов стержня мимо некоторой фиксированной точки. Показать, что, пользуясь таким определением, можно получить прежнее уравнение (4.29) для лорентцова сокращения.

2. Два параллельных стержня движутся друг относительно друга вдоль их общего направления. Объяснить кажущийся парадокс, заключающийся в том, что каждый

стержень может казаться длиннее в зависимости от состояния движения наблюдателя.

3. Пусть частота светового луча в системе S равна V. Его частота в другой системе отсчета S зависит от угла а между направлением светового луча и направлением относительного движения S и S. Получить классическое и релятивистское уравнения, дающие связь между и углом а.

Для этой цели свет удобно рассматривать как плоскую скалярную волну, движущуюся со скоростью с.

Ответ.

Эффект первого порядка, общий в обоих случаях, есть «классический» эффект Допплера; члены второго порядка дают так называемый «релятивистский» эффект Допплера. Он не зависит от угла а.

4. Лорентц создал теорию, которая являлась предшественницей современной теории относительности. Вместо того, чтобы попытаться обобщить принцип относительности на электродинамику, он предположил, что существует привилегированная система отсчета, по отношению к которой эфир покоится. Чтобы объяснить результат опыта Майкельсона-Морлея, он принял, что эфир воздействует на ход часов и длину масштабов, движущихся через него. Согласно этой гипотезе часы замедляют свой ход, а масштабы укорачиваются в направлении своего движения. С помощью этих представлений можно найти количественные соотношения, определяющие замедление часов и сокращение масштабов.

а) Предполагая справедливость уравнений преобразования Галилея, найти точное выражение для времени, которое необходимо световому лучу на прохождение прямолинейного отрезка в обоих направлениях в установке Майкельсона-Морлея. Скорость установки относительно

привилегированной системы считать равной V, а угол между траекторией луча и направлением равным а.

Ответ.

б) Введем теперь гипотезу Лорентца и примем, что уравнение (4.1) применяется к сокращенной длине и измененному углу а. Время, показываемое часами наблюдателя, является теперь не абсолютным временем t, а временем движущихся часов Более того, мы измеряем длины масштабами, которые сами сокращаются, т. е. мы измеряем не действительную сокращенную длину а кажущуюся, несокращенную длину Время движущихся часов t и кажущаяся длина связаны соотношением:

которое следует из результата опыта Майкельсона-Морлея. Обозначим множитель, характеризующий замедление хода часов через 0, и множитель, характеризующий сокращение масштабов в направлении V, через . Получить соотношения, связывающие t с с и определить так, чтобы уравнения (4.1) и (4.II) стали эквивалентными.

Ответ.

в) Чтобы получить полную систему уравнений преобразования Лорентца (4.13), введем две системы координат: одну покоящуюся, а другую движущуюся по отношению к эфиру (5 и S. Найти кажущиеся расстояния точек на осях системы 5 от начала координат этой системы. Наконец, установить такую связь между показаниями движущихся и покоящихся часов, чтобы световой сигнал, исходящий из начала системы координат S в момент имел кажущуюся скорость с во всех направлениях.