Преобразования Лорентца.

Предыдущие рассуждения помогают нам устранить кажущееся противоречие между законом распространения электромагнитных волн и принципом относительности. Поскольку определить универсальное время невозможно и длина твердых масштабов зависит от выбора системы отсчета, можно себе представить, что скорость света одинакова в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга. Теперь мы можем показать, что классические преобразования, связывающие две инерциальные системы (уравнения преобразования Галилея) могут быть заменены новыми уравнениями, которые не основываются на предположениях об универсальности

времени и инвариантности длины масштабов, но предполагают с самого начала инвариантный характер скорости света.

Для получения этих новых уравнений преобразования мы примем, что принцип относительности является фундаментальным принципом, т. е. уравнения преобразования не должны содержать ничего такого, что выделяло бы одну инерциальную систему координат по сравнению с другими. Кроме того, мы предположим, что уравнения преобразования сохраняют однородность пространства; все точки пространства и времени должны быть эквивалентны с точки зрения преобразования. Поэтому уравнения преобразования должны быть линейными. По этой же причине мы считали расстояние равным и в системе S и в системе S (стр. 52).

Рассмотрим две инерциальные системы S и S. Пусть S движется относительно S вдоль оси X с постоянной скоростью V, в момент времени в системе S начала координат S и 5 совпадают. Ось X параллельна оси X и фактически совпадает с ней. Точки, покоящиеся относительно S, движутся со скоростью в направлении оси X относительно S. Первое из наших уравнений преобразования принимает поэтому следующую форму:

где а — постоянная, которая будет определена ниже.

Не является очевидным, что прямая линия, перпендикулярная к оси X, будет также перпендикулярна к оси X (углы должны измеряться, соответственно, наблюдателями в S и 5. Однако, если этого предположения не сделать, преобразование будет нарушать симметрию относительно оси X. По этим же причинам мы предположим, что оси Y и Z ортогональны с точки зрения любой системы и что то же самое справедливо относительно осей Y и

Как указывалось ранее, мы можем инвариантным способом сравнивать длины движущихся стержней (отрезков), если они параллельны друг другу и перпендикулярны направлению их относительного движения. Из совпадения их

соответствующих концов следует по принципу относительности, что они имеют одинаковую длину. В противном случае связь между S и S не была бы обратимой.

На основе этого можно записать два следующих уравнения преобразования:

Для того чтобы система уравнений была полной, мы должны еще написать уравнение, связывающее t, т. е. время, измеренное в системе S, с временной и пространственными координатами системы S. Из-за принятой нами «однородности» пространства и времени t должно зависеть от х, у и z линейно. В силу симметрии предположим далее, что t не зависит от у и z. В противном случае показания двух часов, находящихся в плоскости системы S, не будут совпадать, с точки зрения наблюдателя, в S. Выбирая начало отсчета времени так, чтобы постоянный (не зависящий от координат) член в уравнениях преобразования обращался в нуль, получим

Наконец, мы должны определить постоянную а в (4.1) и постоянные в (4.3). Мы увидим, что они определяются двумя условиями: скорость света одинакова в обеих системах S и S, и новые уравнения преобразования должны переходить в классические, когда скорость мала в сравнении со скоростью света с.

Пусть в момент из начала координат системы S, которое в этот момент совпадает с началом системы S, излучается сферическая электромагнитная волна. Скорость ее распространения одинакова во всех направлениях и равна с в обеих системах. Распространение волны можно описывать любым из двух следующих уравнений:

Используя уравнения (4.1), (4.2) и (4.3), можно выразить координаты, отмеченные звездочками в (4.5), через х, у и z:

Собирая однородные члены, получим:

Это уравнение переходит в уравнение (4.4) только в том случае, когда коэфициенты при и в уравнениях (4.7) и (4.4) равны, а коэфициент при в (4.7) исчезает. Поэтому:

Эти три уравнения решаем относительно неизвестных и Исключением получаем:

Далее, путем исключения у, получим для :

Таким образом, величина в отличие от классической теории, не равна единице. Однако, выбирая положительный знак корня в (4.10), мы увидим, что при малых значение почти равно единице, отличаясь от нее лишь во втором порядке. Y определяется уравнением:

и наконец, для а находим:

Здесь опять выбираем положительное значение корня.

Подставляя найденные значения в уравнения (4.1) и (4.3), получаем новые уравнения преобразования:

Это так называемые уравнения преобразования Лорентца. При малых значениях они переходят в уравнения преобразования Галилея:

Различие между (4.13) и (4.14) всюду второго порядка относительно (или Справедливость уравнений Лорентца экспериментально можно проверить только в том случае, когда больше вероятной ошибки опыта. Майкельсон и Морлей в своем знаменитом эксперименте увеличили точность настолько, что сумели измерить эффекты второго порядка и доказать на опыте непригодность уравнений преобразования Галилея.

Решая уравнения (4.13) относительно и t, получим:

Сравнивая (4.15) с (4.13), мы видим, что S имеет относительную скорость по отношению к S. Это заключение не тривиально, поскольку ни единица длины, ни единица времени в S и в S непосредственно несравнимы.

Скорость светового сигнала, испущенного из любой точки в любой момент времени, равна с во всех системах координат, если она равна с в одной из них, так как пространственные и временные разности координат двух событий преобразуются точно так же, как и сами координаты х, у, z и t.

Преобразования Лорентца не совместимы с классическими представлениями о пространстве и времени. Они устанавливают справедливость принципа относительности по отношению к законам распространения света.

До сих пор мы сравнивали нашу теорию преобразований только с результатами опыта Майкельсона-Морлея. Будет ли она согласоваться также и с явлением аберрации? Мы должны сравнить направление приходящего света в двух системах отсчета: системе, связанной с Солнцем, и системе, связанной с Землей. Величина аберрации зависит от угла между приходящим световым лучом и направлением относительного движения этих двух систем отсчета. Обозначим этот угол через а (в системе, связанной с Солнцем). Направим общую ось X обеих систем вдоль их относительного движения, причем световой луч пусть будет расположен в плоскости XY. В системе, связанной с Солнцем, траектория светового луча определяется посредством

Уравнения движения в системе, связанной с движущейся Землей, получаются отсюда применением обратных преобразований Лорентца (4.15). Тогда (4.16) приобретает вид:

Решая эти уравнения относительно х и у, получим:

Котангенс нового направления равен:

Соответственно классическому объяснению, данному на стр 40, этот угол должен был бы определяться соотношением:

Сравнивая (4.19) и (4.20), надо иметь в виду, что отношение с мало (порядка ). Поэтому разложим оба соотношения в ряды по степеням . Тогда:

и

Наблюдаемый эффект — первого порядка, в то время как релятивистские поправки второго порядка находятся за пределами точности эксперимента. Таким образом, релятивистское уравнение (4.19) согласуется с наблюдаемыми фактами.

Таким же образом можно объяснить эксперимент Физо, связывая систему S с землей и систему S с движущейся жидкостью. По отношению S жидкость покоится, и уравнение движения светового луча таково:

Применяя преобразования Лорентца (4.13), получим:

Скорость светового луча в системе S получается решением этого уравнения относительно х:

Наблюдаемый эффект оказывается опять первого порядка и находится в согласии с экспериментом.