Эвклидовость и интегрируемость.

Если коэфициенты аффинной связности определяются метрическим тензором при помощи уравнений (11.3), можно показать, что эвклидовость пространства находится в непосредственной связи с интегрируемостью аффинной связности.

Если пространство эвклидово, можно ввести декартову систему координат, в которой компоненты метрического тензора постоянны:

Согласно уравнениям (11.3), в такой системе координат равны нулю, согласно (11.2), также обращаются в нуль. Параллельные векторы в этом случае имеют одинаковые составляющие во всех точках; такая аффинная связность является, конечно, интегрируемой. Интегрируемость по определению есть инвариантное свойство аффинной связности, не зависимое от выбора системы координат. Таким образом, аффинная связность эвклидова пространства всегда интегрируема.

С другой стороны, покажем непосредственным построением, что, если аффинная связность (11.3) интегрируема, всегда можно ввести декартову систему координат. Для того чтобы это положение было справедливо, требуется некоторое обобщение определения эвклидова пространства. До сих пор мы определяли эвклидово пространство, как такое пространство, в котором при помощи вещественного преобразования координат можно ввести систему координат с постоянными коэфициентами метрического тензора равными Согласно такому определению четырехмерное пространство Минковского неэвклидово. Основное различие между эвклидовым пространством и пространством Минковского заключается в том, что в первом квадратичная форма дифференциалов координат положительно определена;

при произвольных вещественных значениях . В пространстве Минковского с квадратичной формой

может принимать и положительные, и отрицательные значения, соответственно чему интервал будет «пространственно-подобным» или «временно-подобным» (см. главу IV). В силу этого невозможно при помощи вещественного преобразования координат перейти от (11.5) к (11.6).

Формы (11.5) и (11.6) однако очень похожи друг на друга по своим аналитическим свойствам. В конце главы V указывалось, что символ соответствующий метрической форме (11.6), равен нулю: компоненты параллельно перенесенного вектора в этом случае постоянны, а параллельный перенос „интегрируем. Вообще говоря, это справедливо всегда, когда в пространстве можно ввести систему координат, в которой компоненты метрического тензора постоянны. Такое пространство будем называть плоским. Плоские пространства представляют собой более общий класс по сравнению с эвклидовыми, так как в них метрика не должна быть обязательно положительно определена.

Имея в виду сказанное выше, можно утверждать, что если параллельный перенос, определяемый уравнения и (11.2) и (11.3), интегрируем, пространство является плоским, другими словами, вэтом случае существует система координат, в которой метрическая форма имеет вид:

Доказательство проведем в две стадии. Если коэфициенты аффинной связности симметричны в своих нижних индексах, в силу интегрируемости аффинной связности можно построить систему координат, в которой коэфициенты

аффиной связности равны нулю. Это обстоятельство не зависит от существования метрики и будет доказано без помощи уравнения (11.3). Далее, если метрика определена, обращение в нуль эквивалентно постоянству компонент метрического тензора.

Рассмотрим линейно независимых ковариантных векторов в точке — число измерений пространства). В силу линейной независимости они должны удовлетворять неравенству

где контравариантная тензорная плотность Леви-Чивита. Сместим теперь эти векторов вдоль одного и того же отрезка пути. Изменение А будет равно

Это выражение можно значительно упростить. Прежде всего, скобки справа антисимметричны во всех индексах Так, например, если поменять местами и скобки переходят в

Далее, k может принимать только те же значения, что и смещенные индексы так как для всех остальных значений компоненты тензорной плотности Леви-Чевита обращаются в нуль. Поэтому квадратные скобки в уравнении (11.9) можно заменить выражением

а само уравнение (11.9) перейдет в

Вдоль произвольного пути удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядка. Поэтому не может обращаться в нуль в какой-либо точке этого пути, если оно неравно нулю тождественно.

Отсюда заключаем, что, если векторов линейно независимы, они сохраняют это свойство и при параллельном переносе.

Предположим теперь, что аффинная связность симметрична в своих индексах и интегрируема, тогда каждый из векторов образует поле параллельных векторов. Каждое из этих полей удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида

Правая часть симметрична в индексах . Поэтому ротор равен нулю:

Из этого уравнения видно, что каждое из полей является градиентным полем, т. е. существует скаляров так что

Эти скаляров b можно рассматривать, как координат новой системы. Согласно уравнению (11.8) якобиан преобразования координат не равен нулю. Теперь можно показать, что в новой системе координат исчезают

Преобразуем коэфициенты аффинной связности согласно уравнению (5.81):

В соответствии с уравнениями (11.14) производные являются компонентами векторов так что выражение в скобках в (11.15) равно

В силу (11.12) это выражение равно нулю, благодаря этому Г; в (11.15) также обращаются в нуль.

Возвратимся к рассмотрению метрического тензора. Уравнение (11.3) можно решить относительно производных Сложим два уравнения:

и

Получим:

Таким образом, если равны нулю, постоянны.

Приведение постоянных к форме (11.7) есть чисто алгебраическая задача. Она решается при помощи стандартных процессов ортогонализации и нормировки и не представляет для нас интереса. Любое пространство, в котором компоненты метрического тензора постоянны, является тем самым плоским.