Производные в градиентно-инвариантной геометрии.

Чтобы получить уравнения поля в геометрии Вейля, надо опять ввести аффинную связность и кривизну. Так как в этой геометрии тензорные плотности с весом играют основную роль, то нужно на них распространить понятие ковариантного дифференцирования. Для этого введем совокупность переменных с одним индексом которые входят в определение ковариантного дифференцирования:

Здесь — вес тензорной плотности . Чтобы получить закон преобразования достаточно рассмотреть ковариантные производные скалярной плотности D веса Эти производные образуют векторную плотность веса .

Таким образом, имеем

и поэтому

Логарифмическая производная детерминанта может быть представлена просто, как

Отсюда получаем, наконец, закон преобразования:

В римановой геометрии из условия обращения в нуль ковариантной производной тензора Кронекера следует равенство (см. главу V). Определив понятие ковариантного дифференцирования для тензоров с весом, естественно постулировать обращение в нуль ковариантных производных тензорной плотности Леви-Чивита. Это условие связывает величины с коэфициентами аффинной связности:

Левая часть антисимметрична относительно четырех индексов что может быть проверено непосредственно. Из уравнений (16.8) только те не являются тождествами, в которых все эти четыре индекса имеют различные значения. В этих уравнениях суммирование по в первом члене сводится к подстановке во втором — к Следовательно, первые четыре члена (16.8) равны

и условия (16.8) сводятся к уравнениям

В геометрии Вейля метрическая тензорная плотность с весом играет ту же роль, что метрический тензор в римановой геометрии. Поэтому предположим, что его ковариантиые производные равны нулю. Если, как и прежде,

еще предположить, что коэфициенты аффинной связности симметричны в своих нижних индексах, получим уравнения:

Эти уравнения можно решить, если ввести „контравариантную метрическую тензорную плотность с весом

Решение уравнения (16.10) тогда запишется в виде

Для свернутой аффинной связности снова получим уравнение (16.9). Псевдовектор и метрическая тензорная плотность с весом независимы друг от друга. Оба они необходимы для образования коэфициентов аффинной связности.

Тензор кривизны антисимметричен в , обладает циклической симметрией, выражаемой формулой (11.29) и удовлетворяет тождествам Бьянки (11.35), так как эти тождества справедливы для любого тензора кривизны, образованного при помощи симметричных Г. Однако он не обладает другими свойствами симметрии тензора кривизны римановой геометрии. Свернутый тензор также не является симметричным относительно индексов и Поэтому при образовании свернутых тождеств Бьянки следует соблюдать некоторую осторожность.

Свернем сначала тождества

по индексам Тогда получим тождества:

Поднимая далее индекс и и свертывая по и о, получим

где величины являются плотностями.

В римановой геометрии тензор кривизны антисимметричен в последних двух индексах, благодаря чему, как было показано, второй и третий члены в (16.15) становятся равными. В геометрии Вейля эти соображения неприменимы. В этой геометрии аналогичной величиной, симметричной в последних двух индексах, является ковариантная тензорная плотность кривизны Введем обозначения

где производные метрического тензора. Тогда

С помощью ковариантная тензорная плотность кривизны может быть представлена в виде

В справа включены все члены, обладающие всеми теми же алгебраическими свойствами симметрии, что и римановский тензор кривизны; остальные члены этими свойствами не обладают. Последние обладают только свойствами симметрии (11.28) и (11.29). Если образовать выражение равное нулю в римановой геометрии, лолучим

Хотя и не является вектором, его антисимметричные производные

образуют тензор, что может быть проверено с помощью (16.7).

Видоизменяя второй член (16.15) с помощью (16.19), получим

Это тождество можно преобразовать так, чтобы в него вошла симметрическая часть выражения

Из (16.18) находим, что и связаны следующим образом:

Подставляя это выражение в (16.21) получим свернутые тождества Бьянки в виде

Заметим, что является тензорной плотностью с весом 1, и, следовательно, представляет собой обычную дивергенцию от т. е.