Уравнения движения.

Мы не можем непосредственно измерять электромагнитные поля. Мы наблюдаем только силы (т. е. ускорения), действующие на заряженные частицы. Поэтому, чтобы связать уравнения поля с непосредственными физическими наблюдениями, необходимо знать законы, определяющие поведение заряженных частиц. Классический закон устанавливает, что сила (сила Лорентца), действующая на частицу, равна:

где — скорость частицы, а X означает векторное произведение. Е и Н представляют собой напряженности электромагнитного поля, из которого исключено поле, создаваемое самой частицей. Это последнее имеет, конечно, особенность .

В компонентах (трехмерных) это уравнение записывается так:

Уравнения (7.28) и (7.29) являются уравнениями Эйлера-Лагранжа следующего вариационного принципа

Импульсы, канонически сопряженные координатам, равны

а гамильтониан

Рассмотрим лагранжиан Выражение

отличается только множителем от лорентц-инвариантного скаляра. Действительно, умножая его на получим

Что же касается первого члена в то, как мы знаем, в релятивистской механике он должен быть заменен выражением (6.51). Это выражение (при )

также отличается от скаляра на тот же множитель — Таким образом, выражения (7.35) и (7.33) преобразуются одинаковым образом. Умноженные на они

становятся скалярами. Поэтому можно образовать следующий лорентц-инвариантный интеграл

Соответствующие ему уравнения Эйлера-Лагранжа также должны быть лорентц-ковариантны. Выбирая за параметр для (7.36) получим

Кроме того что этот интеграл лорентц-инвариантен, он обладает еще одним важным свойством. Мы видели, что определяется через с точностью до градиента. Поэтому прибавление произвольного градиента к не должно влиять на получающиеся из лангранжиана уравнения движения. При замене в (7.37) через из (7.27) интеграл преобразуется в следующий:

Значение интеграла меняется при градиентном преобразовании, но изменение это зависит только от значений Ф в конечных точках, а не вдоль всего пути интегрирования. Вариация при фиксированных пределах интегрирования поэтому не меняется при градиентном преобразовании; другими словами, уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие вариационной проблеме

обладают градиентной инвариантностью.

Первый член подинтегрального выражения в (7.37) может быть заменен любой скалярной функцией, удовлетво

рякнцей уравнениям (6.62) и (6.64). Однако, если за параметр выбрано t, то (7.36) дает единственный лорентц-ин-вариантный лагранжиан, ведущий к градиентно-инвариантным уравнениям.

Используя сначала лагранжиан (7.36), получим для импульсов

где и определяется из

Подставляя эти выражения в найдем

и

отсюда для получаем:

Уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие (7.36):

Уравнения Гамильтона, соответствующие уравнению (7.43):

при

Уравнения (7.45), конечно, эквивалентны уравнению (7.44). Уравнение (7.44) дает выражение, наиболее удобное для практических применений.

Можно получить формулы более симметричного вида, используя в качестве параметра т. Заменим первый член в (7.37) выражением

которое удовлетворяет уравнениям (6.62) и (6.64). Такой выбор функции Ф в уравнении (6.62), конечно, произволен, но с его помощью мы получим очень простые уравнения. Лагранжианом будет выражение

Импульсы равны

а уравнения Эйлера-Лагранжа принимают форму

или

Первые три уравнения (7.49) идентичны с уравнением (7.44), умноженным на . Четвертое уравнение не является независимым от первых трех. Свертывание уравнения (7.49) с приводит к тождеству

Второй член тождественно обращается в нуль из-за антисимметричности . Первый член также равен нулю по следующей причине: компоненты представляют собой компоненты единичного вектора; дифференциал же вектора постоянной длины всегда перпендикулярен самому вектору. Несколько иным путем это можно показать так:

Отсюда видно, что уравнение (7.49) содержит только три действительно независимых уравнения.

Вектор может быть выражен через импульсы посредством уравнений

Теперь можно найти

Уравнениями Гамильтона будут

Они эквивалентны уравнениям (7.49).