Тензорная форма уравнений.

Мы уже не раз убеждались, что релятивистские законы часто отличаются от классических только тем, что трехмерные векторы и тензоры заменяются соответствующими четырехмерными. Например, трехмерный импульс должен быть заменен мировым вектором трехмерный антисимметричный тензор антисимметричным мировым тензором у и т. д. Из нерелятивистских уравнений (8.11) видно, что в релятивистских уравнениях должен играть важную роль симметричный тензор второго ранга; он состоит из двух членов: первый соответствует нерелятивистскому члену а второй Р. В согласии с этим мы введем сначала симметричный мировой тензор имеющий в специальной системе S в точке Р следующие компоненты:

Это означает, что он удовлетворяет ковариантным уравнениям

С помощью этого мирового тензора можно иначе представить член из (8.14). Именно:

В силу (8.16) первый член в скобках обращается в нуль, а во втором члене равно единице, так что можно записать

Таким же образом в (8.13) можно преобразовать член Тогда получим:

После этого (8.13) и (8.14) принимают вид:

Как уже указывалось, равно единице, а его первые производные равны нулю. Поэтому замена на и умножение некоторых членов на меняют только форму уравнений:

Осталось еще только показать, что в первой скобке уравнения (8.136) можно прибавить заменить мировым вектором

Согласно уравнению (8.16) компонента может быть следующим образом выражена через другие компоненты:

И исчезают в Р, поэтому производная от также обращается в нуль. В связи с этим в уравнении (8.136) к выражению можно прибавить не меняя значения первого члена.

По правой части уравнений (8.136; и (8.146) определяем мировой вектор компоненты которого в системе Р в точке равны Он удовлетворяет ковариантному уравнению

После этих изменений (8.136) и (8.146) можно объединить в четырехкомпонентный ковариантный закон

Тензор Р преобразуется, как контравариантный тензор, и его дивергенция является поэтому контравариантным вектором.

Рассмотрим вкратце физический смысл тензора в системе координат, отличной от S. Произведем преобразование Лорентца наиболее простого типа, соответственно уравнениям (4.13), т. е. совершим переход к системе координат, в которой среда движется вдоль оси X со скоростью V. В этой системе координат компоненты тензора

имеют вид:

Полная энергия свободно движущейся частицы превышает ее энергию покоя в раз. Рассматривая вместо энергии плотность энергии, нужно принять во внимание, что объем, содержащий заданное число молекул, при движении испытывает сокращение в раз. Оба эффекта вместе приводят к тому, что полная плотность энергии (а потому и плотность массы) превышает плотность энергии покоя (или плотность массы покоя) в раз. [В нашем случае и равно ] При этом рассуждении не принимались во внимание напряжения, вызывающие движение среды, однако оно поясняет в основном, почему в уравнениях (8.23) везде умножается на

Что касается компонент (без индекса 4), то они содержат умноженные на различные степени выражения плотность массы умноженную на

Компоненты остаются компонентами плотности импульса; как указывалось выше, плотность импульса содержит члены, обусловленные наличием напряжений. продолжает

представлять собой плотность энергии. Член, обусловленкый напряжениями, квадратичен относительно скорости среды.

Так же как в классической гидродинамике, система полностью определена, только если тензор Рзадан. Вернемся к случаю идеальной жидкости. В специальной системе координат 5 тензор имеет компоненты,

иначе говоря, скалывающих напряжений нет, и давление изотропно. При преобразовании Лорентца Р переходит в

где связаны друг с другом и с температурой уравнением состояния жидкости.

обычно называют тензором энергии-импульса. В нашем частном случае он специализирован в том смысле, что его компоненты обращаются в нуль в специальной системе координат. Пользуясь языком алгебры квадратичных форм, можно сказать, что является собственным вектором матрицы — ее соответствующим собственным значением. Это не общее свойство тензора энергии-импульса; — собственный вектор матрицы только, пока рассматривается перенос энергии посредством механического взаимодействия. Перейдем теперь к рассмотрению электромагнитного взаимодействия, где уже не представляет собой собственного вектора матрицы