Это означает, что он удовлетворяет ковариантным уравнениям
С помощью этого мирового тензора можно иначе представить член
из (8.14). Именно:
В силу (8.16) первый член в скобках обращается в нуль, а во втором члене
равно единице, так что можно записать
Таким же образом в (8.13) можно преобразовать член
Тогда получим:
После этого (8.13) и (8.14) принимают вид:
Как уже указывалось,
равно единице, а его первые производные равны нулю. Поэтому замена
на
и умножение некоторых членов на
меняют только форму уравнений:
Осталось еще только показать, что в первой скобке уравнения (8.136) можно прибавить
заменить мировым вектором
Согласно уравнению (8.16) компонента
может быть следующим образом выражена через другие компоненты:
И
исчезают в Р, поэтому производная от
также обращается в нуль. В связи с этим в уравнении (8.136) к выражению
можно прибавить
не меняя значения первого члена.
По правой части уравнений (8.136; и (8.146) определяем мировой вектор
компоненты которого в системе Р в точке
равны
Он удовлетворяет ковариантному уравнению
После этих изменений (8.136) и (8.146) можно объединить в четырехкомпонентный ковариантный закон
Тензор Р преобразуется, как контравариантный тензор, и его дивергенция является поэтому контравариантным вектором.
Рассмотрим вкратце физический смысл тензора
в системе координат, отличной от S. Произведем преобразование Лорентца наиболее простого типа, соответственно уравнениям (4.13), т. е. совершим переход к системе координат, в которой среда движется вдоль оси X со скоростью V. В этой системе координат компоненты тензора
имеют вид:
Полная энергия свободно движущейся частицы превышает ее энергию покоя в
раз. Рассматривая вместо энергии плотность энергии, нужно принять во внимание, что объем, содержащий заданное число молекул, при движении испытывает сокращение в
раз. Оба эффекта вместе приводят к тому, что полная плотность энергии (а потому и плотность массы) превышает плотность энергии покоя (или плотность массы покоя) в
раз. [В нашем случае и равно
] При этом рассуждении не принимались во внимание напряжения, вызывающие движение среды, однако оно поясняет в основном, почему
в уравнениях (8.23) везде умножается на
Что касается компонент
(без индекса 4), то они содержат
умноженные на различные степени выражения
плотность массы
умноженную на
Компоненты
остаются компонентами плотности импульса; как указывалось выше, плотность импульса содержит члены, обусловленные наличием напряжений.
продолжает
представлять собой плотность энергии. Член, обусловленкый напряжениями, квадратичен относительно скорости среды.
Так же как в классической гидродинамике, система полностью определена, только если тензор Рзадан. Вернемся к случаю идеальной жидкости. В специальной системе координат 5 тензор
имеет компоненты,
иначе говоря, скалывающих напряжений нет, и давление изотропно. При преобразовании Лорентца Р переходит в
где
связаны друг с другом и с температурой уравнением состояния жидкости.
обычно называют тензором энергии-импульса. В нашем частном случае он специализирован в том смысле, что его компоненты
обращаются в нуль в специальной системе координат. Пользуясь языком алгебры квадратичных форм, можно сказать, что
является собственным вектором матрицы
— ее соответствующим собственным значением. Это не общее свойство тензора энергии-импульса;
— собственный вектор матрицы
только, пока рассматривается перенос энергии посредством механического взаимодействия. Перейдем теперь к рассмотрению электромагнитного взаимодействия, где
уже не представляет собой собственного вектора матрицы