Нахождение выражения для импульса.

Для определения функции рассмотрим в качестве примера такое упругое соударение двух частиц, при котором в одной из систем координат скорости частиц до и после столкновения одинаковы. В этом случае будет постоянной величиной. Законы сохранения полностью определяют направления скоростей после столкновения. Далее можно показать, что при переходе к другой системе координат нужно выбрать единственным образом, совместимым с законами сохранения в новой системе.

Пусть две равные точечные массы приближаются к началу координат системы 5 с противоположных направлений и достигают его в момент Их скорости соответственно имеют компоненты

Уравнениями движения до столкновения будут:

Предположим, что после столкновения -компоненты скоростей остаются неизменными, а -компоненты меняют знак. Таким образом скорости масс после столкновения будут равны:

а уравнения движения

Такое движение изображено на фиг. 7. Величина скоростей в результате столкновения не меняется, скорости обеих частиц остаются одинаковыми.

Несмотря на то, что до сих пор не делалось еще никаких предположений относительно функциональной зависимости от и от , можно быть уверенным, что наш пример не противоречит релятивистским законам сохранения. Таким образом, поведение частиц в нашем примере описано правильно, независимо от тех изменений законов классической механики, которые вызываются условиями релятивистской инвариантности.

В классической механике предполагается равным е. не зависит от . Классические законы верны, по крайней мере приближенно, для малых (в сравнении с с) скоростей; поэтому при и должно принять значение . Для получения зависимости от и рассмотрим поведение наших частиц в новой системе S.

Фиг. 7. Столкновение двух частиц, имеющих одинаковые массы и скорости.

Система S связана с исходной системой уравнениями (4.13) или (4.15). Чтобы избежать ненужных усложнений, выберем относительную скорость систем S и S, равной постоянной а из равенств (6.3) и последующих.

Преобразуя уравнения (6.4) и (6.6), получим уравнения движения до столкновения

(кликните для просмотра скана)

Используя выражения (6.7) и (6.8), можно составить уравнения для «импульсов», содержащие неизвестную функцию Обозначим «импульсы» отдельных частиц через а их сумму, «полный импульс», через . До столкновения имеем:

а после столкновения

Закон сохранения для удовлетворяется, если и но и, в этом случае величина и равна . С другой стороны, если и равно и то отличается от только знаком. Отсюда следует, что закон сохранения для требует, чтобы обращалось в нуль. Таким

образом, мы получаем функциональные уравнения для

Переходя к пределу получим более простое уравнение:

Уже было отмечено, что равно . Для получения явного вида функции введем в качестве второго аргумента переменную а:

тогда уравнение (6.12) примет вид:

Другими словами, если вообще существуют лорентц-ковариантные законы сохранения, то встречающиеся в них векторные величины должны иметь вид:

Это выражение называют „релятивистским импульсом, чтобы отличать его от аналогичного классического вектора.

Релятивистская энергия одной точечной массы находится из (6.2):

иначе говоря, релятивистская кинетическая энергия равна

где — постоянная интегрирования.