Дифференциальные тождества.

Такой физический закон, как уравнения гравитационного поля, не может быть получен путем чисто логических рассуждений. Однако класс возможных уравнений поля уже ограничен нашими требованиями того, что поле должно представляться десятью дифференциальными уравнениями второго порядка относительно ковариантными по отношению к общему преобразованию координат. В этом разделе мы наложим на уравнения поля дополнительное условие, которое исключит все возможности, кроме одной.

Десять дифференциальных уравнений для не могут быть полностью независимы друг от друга, они должны удовлетворять четырем тождествам. Это условие непосредственно связано с условием общей ковариантности. Предположим, что нами получена система десяти ковариантных уравнений для и что известно одно из решений этих уравнений. В этом случае новые решения этих уравнений можно получить просто преобразованием координат. Зависимость преобразованных компонент метрического тензора от будет иной, чем зависимость от Эти формально

различные решения в сущности являются эквивалентными представлениями одного и того же физического состояния, так как их различие отражает только возможность произвольного выбора систем отсчета, в которых может быть описано гравитационное поле. Таким образом, действительно отличных друг от друга гравитационных полей гораздо меньше, чем формально различных решений уравнений пиля.

Чтобы ограничить число формальных решений, на систему координат следует наложить дополнительное условие. Так как преобразования координат содержат четыре произвольные функции (в четырехмерном пространстве), то можно составить четыре уравнения для которые не должны быть ковариантными. Эти уравнения должны быть выбраны таким образом, чтобы, исходя из произвольной совокупности им можно было бы удовлетворить после соответствующего преобразования координат. Такие уравнения называются координатными условиями.

При добавлении к десяти ковариантным уравнениям поля четырех координатных условий получается система из четырнадцати уравнений, имеющая то же множество неэквивалентных решений, что и система десяти уравнений поля, взятая отдельно, но с меньшим числом формально различных решений.

Четырнадцать полностью независимых уравнений для десяти переменных имели бы слишком мало решений. Эти решения соответствуют либо плоской метрике, либо, в лучшем случае, они определяют значительно меньшее количество действительно различных состояний, чем то, которое можно получить, допуская произвольное распределение материи в пространстве. Поэтому, кроме четырнадцати уравнений, должны удовлетворять четырем тождествам.

Четыре координатные условия являются в значительной степени произвольными. Они могут быть любыми нековариантными уравнениями, содержащими которые можно удовлетворить любой метрикой после соответствующего выбора системы координат. Так как выбор конкретных координатных условий не влияет на характер решений,

необходимо, чтобы тождества содержали только ковариантные уравнения поля и чтобы они были независимы от координатных условий.

Предыдущие рассуждении показывают, что десять уравнений поля в силу их ковариантности должны удовлетворять четырем тождествам. Однако до сих пор мы еще ничего не знаем о форме самих уравнений и природе соответствующих им тождеств. Чтобы решить эти вопросы, используем свойства тензора Р. Если рассматривать материю как сплошную среду, правыми частями уравнений гравитационного поля будут величины подобно тому, как компоненты мирового вектора тока образуют правые части уравнений Максвелла. Аналогично тому, что закон сохранения электрического заряда выражается уравнением

Закон сохранения энергии и импульса может быть выражен уравнением

Поэтому можно ожидать, что десять величин, стоящих в левых частях уравнений поля, являются компонентами симметричного тензора второго ранга, а четыре тождества имеют вид дивергенций.