Принцип общей ковариантности.

Для того чтобы развить теорию гравитации, включающую в себя как составную часть и принцип эквивалентности, нужно отбросить представление о привилегированных инерциальных системах отсчета. Все системы отсчета одинаково пригодны для описания законов природы.

Как выразить в математической форме эту эквивалентность всех систем отсчета? Поскольку мы всегда представляем систему отсчета в виде системы координат, а инерциальную систему, в частности, в виде лорентцовой системы координат, очевидно, что в общем случае нельзя ограничиться преобразованием координат Лорентца. Линейное преобразование координат с произвольными коэфициентами недостаточно, так как переход от одной системы отсчета к другой, ускоренно движущейся относительно первой, не может быть представлен преобразованием координат, линейным относительно временной координаты.

История развития общей теории относительности показала, что для построения общей релятивистской теории гравитации необходимо рассмотреть группу всех непрерывных дифференцируемых преобразований координат с неисчезающим якобианом. Вот почему теория гравитации называется общей теорией относительности.

Во второй части главы V были рассмотрены некоторые свойства произвольного преобразования координат. В эвклидовом пространстве всегда возможно ввести криволинейную систему координат. Все операции векторного и тензорного анализа могут быть с одинаковым успехом выражены как в прямоугольной декартовой, так и в криволинейной системе координат. Однако при введении криволинейных координат и произвольных преобразований, чтобы сформулировать многочисленные тензорные соотношения, нужно еще ввести метрический тензор компоненты которого являются функциями координат. При этом прямая линия, например, не может быть представлена более простым способом, чем при помощи дифференциальных уравнений (5.99). Хотя любые геометрические соотношения можно представить в криволинейных координатах и в эвклидовом пространстве, в последнем все же обычно бывает предпочтительнее пользоваться декартовыми координатами.

В эвклидовом пространстве использование декартовых систем координат и ортогональных преобразований позволяет развить тензорное исчисление с меньшим числом

базисных элементов, чем в общем формализме. Поскольку метрический тензор вырождается в тензор он не является уже независимым элементом геометрии. В римановом пространстве введение декартовой системы координат невозможно. В нем должен быть использован общий формализм, ковариантный относительно общего преобразования координат.

В теории гравитации мы сталкиваемся с подобной же ситуацией. Мы можем сформулировать специальную теорию относительности, пользуясь криволинейными системами координат и обобщенными преобразованиями в четырехмерном мире. Однако при этом возможно ввести такие системы координат, в которых компоненты метрического тензора принимают постоянные значения к], и где коэфициенты аффинной связности обращаются в нуль. Формализм, ковариантный только по отношению к преобразованиям, переводящим некоторую систему координат этого типа в систему такого же типа, не требует введения ряда геометрических понятий, являющихся составной частью формализма, ковариантного по отношению к общему преобразованию координат. Системы координат, в которых компоненты метрического тензора имеют постоянные значения 1] являются инерциальными, а преобразования одних инерциальных систем координат в другие инерциальные же системы являются преобразованиями Лорентца.

Эквивалентность всех систем отсчета должна выражаться эквивалентностью всех систем координат. В гравитационном поле невозможно ввести привилегированную систему координат Лорентца. Всегда, когда введение лорентцовой системы координат невозможно, мы, расширяя терминологию главы V, будем называть четыргхмерное пространство Минковского — римановым.

В пространстве Римана компоненты метрического тензора g во всех системах отсчета являются не постоянными, а функциями координат. Если ограничиться преобразованиями Лорентца, формализм не упростится. Гипотеза, что геометрия физического пространства лучше всего представляется формализмом, ковариантным относительно общих

преобразований координат, и что ограничение менее общей группой преобразований не упростит формализма, называется принципом общей ковариантности. Он является математическим выражением принципа эквивалентности. Развитие теории гравитации, удовлетворяющей принципу общей ковариантности, дало теоретической физике теорию поля, наилучшую из всех до сих пор предложенных.