Специальная система координат.

Для того чтобы получить лорентц-ковариантные законы, введем сначала специальную систему координат S, в которой среда покоится в мировой точке Р. В этой мировой точке уравнения находятся особенно просто, так как все классические члены, в которые скорость входит не под знаком дифференциала, равны нулю. Первые производные от равны при этом первым производным от а первая производная от исчезает. Сама компонента равна единице. Поскольку среда неподвижна, ее полная плотность энергии есть

плотность энергии покоя и равна плотности массы умноженной на Единственные изменения, которые нужно внести в классические законы, обусловлены релятивистской связью потока энергии с импульсом. Поэтому поток энергии должен рассматриваться во всех законах сохранения.

Сформулировав законы в специальной системе координат, мы придадим им форму тензорных уравнений.

Вначале рассмотрим перенос энергии, обусловленный движением среды только под действием механических напряжений. В дальнейшем мы распространим наш формализм также и на электромагнитное взаимодействие. Имея в виду это ограничение, сформулируем сперва закон сохранения энергии.

Изменение полной энергии, содержащейся в некотором объеме, определяется количеством энергии, втекающей в данный объем и вытекающей из него. Благодаря релятивистскому соотношению между энергией и массой поток энергии представляет собой не что иное, как плотность импульса, умноженную на . Последняя состоит из двух частей: во-первых, мы имеем произведение плотности массы на скорость, во-вторых, к нему прибавляется поток энергии, создаваемый напряжениями. Рассмотрим ориентированную бесконечно малую площадку . С обеих ее сторон на среду действуют силы, равные: — с той стороны, куда направлена нормаль, и — с другой стороны. Если среда в окрестности этой поверхности движется со скоростью то работа, производимая на одной стороне, равна а на другой, соответственно, . Количество энергии, полученное одной стороной, равно количеству энергии, потерянному другой; другими словами, имеет место поток энергии через поверхность, а компонентами вектора этого потока являются . Соответствующая ему плотность импульса меньше в раз. Таким образом, полная плотность импульса равна:

В точке Р оба члена равны нулю, однако этого нельзя сказать об их производных. Для закона сохранения энергии получаем уравнение

или

Подобным же образом можно написать уравнение, связывающее изменение плотности импульса во времени с плотностью сил. При нашем выборе системы координат в точке Р нет разницы между частными и «полными" производными. Таким образом получаем:

Уравнения (8.13) и (8.14) заменяют нерелятивистские уравнения (8.1) и (8.11).