Тензор энергии-импульса электромагнитного поля.

В предыдущей главе было показано, что действующая на заряженную точечную массу мировая сила согласно (7.49), равна где — (смешанный) тензор поля. Предположим теперь, что рассматриваемая в этой главе сплошная

среда содержит заряженные частицы, например электроны, и в таком количестве, что полем каждой частицы в сравнении с общим полем можно пренебречь. Можно принять за среднее полное поле в окрестности рассматриваемой частицы. Пусть, далее, элемент объема покоится в S. Обозначим через в собственную плотность зарядов заряженных частиц, т. е. плотность заряда в системе S, в которой заряженные частицы покоятся. Будем, далее, обозначать мировой вектор скорости заряженных частиц через 1, а скорость системы — через о Объем в системе сокращается в раз — относительная скорость систем Поэтому полный заряд, содержащийся в , будет

Согласно (7.49) сила, действующая на этот заряд, равна:

где — мировой вектор импульса [см. уравнение (6.22)] и — время в системе S. По электронной теории Лорентца, собственная плотность заряда в, умноженная на четырехмерную скорость дает мировую плотность тока поэтому можно написать

С другой стороны, желательно ввести S-время вместо собственного времени т. Из-за увеличения временного

интервала изменение импульса на единицу -времени отличается от изменения на единицу -времени на множитель . Этот множитель сокращается с таким же множителем в правой части уравнения (8.26а), так что получаем:

Это последнее уравнение не содержит более величин относящихся к системе S. Оно справедливо поэтому даже в том случае, когда среда содержит заряженные частицы различного рода (электроны, атомные ядра, ионы с различными массами и зарядами) с различными средними скоростями. Действительно, полная плотность тока равна сумме плотностей токов частиц каждого типа и, соответственно, производная по -времени полной плотности импульса равна сумме производных плотностей импульсов различных частиц.

Уравнение (8.266) поэтому справедливо постольку, поскольку среду можно считать непрерывной. Отсюда следует, что можно рассматривать как мировую силу на единицу собственного объема и подставить ее в правую часть уравнения (8.22). Тогда получаем:

Правую часть можно преобразовать так, чтобы она приняла вид дивергенции симметричного мирового тензора. Во-первых, определяем через напряженности поля из (7.20). Это дает:

Во-вторых, интегрируем по частям:

В последнем члене во втором множителе меняем местами индексы у и а. В силу антисимметрии получим

Принимая во внимание (7.19), это последнее выражение приводится к виду

Из (8.28) можно получить, заменяя некоторые немые индексы,

Подставляя это выражение в (8.27а), окончательно находим:

Рассмотрим теперь по порядку компоненты этого нового четырехмерного тензора. Положим

и заменим и выражениями (7.17) и (7.17 а). Различные компоненты даются выражениями:

являются компонентами тензора напряжений электромагнитного поля, который был известен еще Максвеллу; представляют собой компоненты вектора Пойнтинга, разделенные на наконзц, есть плотность энергии электромагнитного поля, дгленная на с. Эта последняя фигурирует также и в классической теории электромагнетизма.

Плоская электромагнитная волна обладает определенными плотностью и потоком энергии и вызывает определенные напряжения. Плоская волна, распространяющаяся в направлении оси X, имеет четырехмерный тензор энергии-импульса с компонентами

где А — совпадающие значения Е и Н, все остальные компоненты равны нулю. Напряжение в направлении распространения положительно и называется «давлением излучения

Задачи

(см. скан)