Векторы.
Рассмотрим, как преобразуются дифференциалы при общем преобразовании координат. Пусть 
и представляют собой два ряда недекартовых координат. Их дифференциалы связаны тогда уравнениями
Дифференциалы преобразованных координат 
являются линейными однородными функциями от 
однако коэфициенты преобразования не постоянны, а являются функциями от S. Их детерминант также не постоянен. Этими величинами мы воспользуемся для введения геометрического понятия «контравариантного вектора». Контравариантный вектор имеет 
компонент, преобразующихся так же, как дифференциалы координат:
Сумма и разность контравариантных векторов, а также произведение контравариантного вектора на скаляр представляют собой контравариантные векторы.
Невозможно образовать скалярное произведение только из контравариантных векторов. Чтобы найти в нашем формализме величину, соответствующую скалярному произведению, рассмотрим скалярное поле 
Изменение V при бесконечно малом смещении равно:
Левая часть первого соотношения, очевидно, инвариантна. Правая часть имеет вид скалярного произведения; один из множителей является контравариантным вектором второй представляет собой градиент V, т. е. 
Компоненты градиента V преобразуются по закону
является линейной однородной функцией от 
Закон преобразования (5.53) отличается от закона преобразования контравариантного вектора. Мы назовем градиент скалярного поля ковариантным вектором. В общем случае ковариантный вектор определяют как совокупность 
величин, преобразующихся согласно закону
Сумма и разность ковариантных векторов и произведение ковариантного вектора на скаляр также представляют собой ковариантные векторы.
Для того чтобы различать контравариантные и ковариантные векторы, мы будем первые обозначать индексом сверху, а вторые — индексом снизу.
Коэфициеиты преобразования контра- и ковариантных векторов различны, но связаны между собой. Коэфициенты 
уравнения (5.51) и коэфициенты 
уравнения (5.54) связаны друг с другом системой из 
соотношений
где 
опять означает символ Кронекера, обозначавшийся ранее через 
. В силу (5.55) внутреннее (скалярное) произведение ко- и контравариантного векторов является инвариантом:
Рассмотрим случай ортогональных преобразований. Их коэфициенты преобразований 
удовлетворяют (5.76) и (5.10а). Производные, определяющие в общем случае переход от одних координат к другим, при ортогональном преобразовании равны
и так как (5.55) справедливо для любых преобразований, из (5.76) следует, что также
Поэтому, если ограничиться ортогональными преобразованиями, различие между контра- и ковариантными векторами исчезает.
