Метрический тензор, римановы пространства.
Выражение, входящее в (5.49), 
при переходе от одной системы к другой преобразуется как тензор
Другими словами, 
является ковариантным симметричным тензором второго ранга. Он называется метрическим тензором.
Существуют „пространства, в которых невозможно ввести декартову систему координат. Одним из двумерных „пространств" такого типа является поверхность сферы. Если в качестве координат ввести широту и долготу 
, то расстояние между двумя бесконечно близкими точками на поверхности сферы выразится следующим образом через дифференциалы координат:
Чтобы включить подобные непрерывные многообразия в круг разбираемых вопросов, рассмотрим пространства с некоторым метрическим тензором, не останавливаясь на вопросе о возможности введения в них декартовой системы координат. Образование, в котором задан «квадрат дифференциала длины», т. е. инвариантная однородная квадратичная функция дифференциалов координат, называется метрическим пространством или римановым пространством". Если возможно в римановом пространстве ввести такую систему координат, в которой метрический тензор в каждой точке будет равен 
эта система координат будет декартовой, а пространство называется эвклидовым.
Если бесконечно малое расстояние определяется соотношением
причем 
инвариант, то 
является ковариантным тензором. Наше предыдущее доказательство основывалось на предположении, что 
равно выражению 
другими словами, мы предполагали возможность введения декартовой системы координат. Для того чтобы показать, что трансформационные свойства 
не зависят от этого предположения, рассмотрим следующее уравнение:
выражающее инвариантность 
Заменяя 
слева через 
, получим:
В силу произвольности 
можно приравнять коэфициенты с обеих сторон равенства, таким образом показывается справедливость соотношений (5.60).
Если детерминант компонент 
не равен нулю, можно ввести совокупность новых величин 
согласно соотношениям
Чтобы получить их трансформационные свойства, преобразуем сначала 
. Заменим их выражением
тогда получим:
далее умножаем последнее соотношение на 
. В силу (5.59) правая часть обращается в для левой части получим:
так что
Сравнение (5.66) с (5.64) дает
т. е. 
являются компонентами контравариантного тензора. Тензор этот симметричен. Это можно показать, умножая (5.64) на 
. Тогда левая часть будет равна
в то время как правая часть обращается в
т. е. мы видим, что
и, сравнивая это соотношение с (5.64), находим
Тензор 
называется контравариантным метрическим тензором. Значения его компонент, как ясно из (5.64), равны минорам от 
деленным на детерминант 
В декартовой системе координат равно 
