Четырехмерный формализм в пятимерном пространстве.

Рассмотрим пятимерное пространство с координатами и метрическим тензором . В дальнейшем в этой главе и в главе XVIII предполагается, что греческие индексы пробегают значения от 1 до 5, в то время как латинские индексы — от 1 до 4. В этом пространстве мы введем четыре параметра которые являются функциями координат Производные этих четырех параметров по координатам а должны быть линейно независимы во всех отношениях:

В пятимерном пространстве эти четыре параметра определяют совокупность кривых . Через каждую точку пятимерного пространства проходит одна из этих кривых. Будем рассматривать эти кривые, как новую инвариантную структуру в пятимерном пространстве. Эта структура остается неизменной при «параметрических преобразованиях»

Покажем, что возможно ввести величины, преобразующиеся при параметрических преобразованиях, как четырехмерные тензоры. В физической интерпретации, на которой мы

остановимся ниже, многообразие, характеризуемое параметрами будет рассматриваться как физическое пространство; поэтому исследуем, насколько геометрия пространства связана с геометрией обычного четырехмерного риманова пространства.

Совокупность функций от , характеризующихся индексами, пробегающими значения от 1 до 4, и преобразующихся при параметрических преобразованиях, как четырехмерные тензоры, назовем -тензором (сокращение от «parameter tensor»). Производные по координатам

являются контравариантными -векторами и ковариантными (обычными) векторами. С помощью этих величин можно ввести векторное поле А, определяемое векторами, касательными к кривым которое удовлетворяет уравнениям

Эти пять условий полностью определяют А-поле.

С помощью можно определить поле взаимное удовлетворяющее следующим условиям:

Эти двадцать условий полностью определяют

Каждому (обычному) вектору или можно поставить в соответствие скаляр или -вектор:

Скаляр представляет собой часть V или параллельную А, тогда как -вектор — часть, нормальную к А.

С другой стороны, -вектору можно поставить в соответствие обычный вектор

(условие суммирования распространяется и на -индексы); этот вектор ортогонален А, независимо от выбора 11° (в силу последних четырех уравнений (17.7)).

Метрическому тензору можно сопоставить ковариантный -тензор

который мы будем называть метрическим -тензором или -метрикой.

Смешанные у-величины обоего типа и вектор дают нам возможность разложить каждое пятимерное соотношение на „четырехмерное" и скалярное соотношения. Смешанные у-величины „проектируют" пятимерное пространство на наше четырехмерное. Если их произведение свернуть по -индексам, получим типичный проективный тензор

Произведение любого вектора на ортогонально А. Легко показать, что может быть выражен через символ Кронекера и вектор А:

Доказательство производится посредством умножения выражения на пять линейно независимых пятикомпонентных совокупностей Все пять произведений

равны нулю. Но если произведение пятирядной матрицы на пять независимых векторов" равно нулю, то такая матрица будет нулевой матрицей.

Каждый вектор может быть представлен через соответствующие ему -вектор и скаляр следующим образом:

Действительно, если заменить и выражениями (17.8), то для правой части (17.14) получим