Тензорная плотность Леви-Чивита.

Мы уже видели, что символ Кронекера представляет собой тензор, компоненты которого имеют одно и то же постоянное значение в любой системе координат. Точно так же существует постоянная тензорная плотность третьего ранга, тензорная плотность Леви-Чивита, определяемая следующим образом. Тензорная плотность антисимметрична относительно всех трех индексов; поэтому все ее компоненты, имеющие по крайней мере два одинаковых индекса, равны нулю. Ее неисчезающие компоненты равны в зависимости от того, является ли четной или нечетной перестановкой тройки чисел (1, 2, 3).

Мы должны еще показать, что компоненты действительно являются компонентами тензорной плотности. Для этого рассмотрим тензорную плотность

компоненты которой в одной из систем координат будут равны Если окажется, что и в другой системе координат ее компонентами опять будут наше утверждение будет доказано.

Найдем компоненты в новой системе координат:

Поскольку при преобразовании координат антисимметрия сохраняется, все компоненты по крайней мере с двумя одинаковыми индексами, исчезают. Поэтому выпишем только те компоненты, у которых все три индекса различны. Компонента равна:

Правая часть представляет собой просто квадрат и равна единице, так как по определению выражение является детерминантом

Зная, что равно единице, остальные компоненты легко получить из свойств симметрии:

Таким образом, D равны что и требовалось доказать.