Линейное приближение и нормальные координатные условия.

Полученные уравнения поля и законы движения в гравитационном поле нелинейны относительно переменных поля Однако известно, что линейная теория — теория Ньютона — с большой степенью точности описывает движение тел под действием сил. Поэтому необходимо предположить, что гравитационные поля (т. е. отклонение истинной метрики от плоской), с которыми мы встречаемся, например, в небесной механике, настолько слабы, что нелинейный характер уравнений поля ведет лишь к эффектам второго порядка. В метрической системе единиц, которой обычно пользуются при измерениях, наблюдаемые в природе гравитационные ускорения — порядка единицы, в то время как скорость света с — весьма большая величина. В теории гравитации удобно пользоваться другими единицами, в которых скорость света равна не , а 1. Сохраним сантиметр в качестве единицы длины, а за единицу времени и собственного времени выберем величину, в раз

меньшую, чем секунда. В этих единицах метрический тензор плоской метрики имеет компоненты:

То обстоятельство, что скорости большинства материальных тел малы по сравнению со скоростью света, в новых единицах выражается в том, что пространственные компоненты малы в сравнении с единицей.

Предположим, что, используя новые единицы времени, можно ввести такие системы координат, в которых компоненты метрического тензора разлагаются в ряды

где параметром разложения является малая постоянная Контравариантный метрический тензор имеет в этом случае компоненты

Детерминант метрического тензора равен

Перейдем к рассмотрению уравнений движения. Они записываются в виде:

Символы Кристоффеля будут малыми величинами первого порядка относительно Пренебрегая величинами высших порядков, заменим на Далее, пока скорости малы по сравнению с , можно пренебречь членами, содержащими в качестве множителей, считать равным единице. Тогда (12.11) заменится приближенным уравнением

Наконец, если поле медленно меняется во времени — это соответствует тому, что образующие поле точечные массы движутся с небольшими скоростями, — можно пренебречь производными по которые малы по сравнению с производными по пространственным координатам Е. Тогда для первых трех уравнений (12.12) получим:

Сравнивая это уравнение с классическим выражением для силы (10.5), увидим, что играет роль ньютоновского гравитационного потенциала. Это обстоятельство поможет нам в дальнейшем интерпретировать решения уравнений поля.

Перейдем теперь к нахождению линейного приближения для уравнений поля. Ограничиваясь линейными выражениями, можно значительно упростить вид этих уравнений.

В тензоре

можно пренебречь всеми членами, не линейными относительно А. Это относится ко всем членам, не линейным относительно символов Кристоффеля; в оставшихся членах все непродифференцированные и заменим на . Тогда получим „линеаризованные выражения

Выражение (12.15) может быть несколько упрощено введением обозначений

Выражая линеаризованные О через , получим

При решении уравнений поля (12.3) и (12.4) еще остаются значительные трудности, так как каждая линеаризованная компонента (12.17) зависит от нескольких компонент и поэтому десять уравнений поля должны решаться одновременно. Однако задачу можно значительно упростить благодаря возможности введения координатных условий. Мы покажем, что всегда возможно произвести такое преобразование координат, в результате которого выражение обращается в нуль.

Рассмотрим преобразования координат вида

при которых изменение значений координат пропорционально параметру Обратными преобразованиями с точностью до величин первого порядка относительно X будут:

Компоненты метрического тензора (12.8) в том же приближении преобразуются по следующему закону:

Отсюда получаем закон преобразования

преобразуются следующим образом:

а выражения согласно закону

Все эти соотношения справедливы с точностью до членов первого порядка относительно

Система координат, в которой равны нулю, получается в результате преобразования координат (12.18) с удовлетворяющими следующим дифференциальным уравнениям

Эти уравнения, дифференциальные уравнения Пуассона в четырех измерениях, всегда имеют решения.

В линейном приближении уравнения поля заменяются уравнениями

и

Таким образом, мы добились разделения переменных в дифференциальных уравнениях второго порядка, благодаря чему рассмотрение их решений сильно упрощается.