Решение с осевой симметрией.

Вейлю и Леви-Чивита удалось найти статические решения, обладающие только осевой симметрией, но не сферической. Если с самого начала предположить, что „статичность” означает как независимость от так и обращение в нуль компонент то можно показать, что метрический тензор с осевой симметрией может быть представлен в виде:

где — функции двух переменных,

Тензор имеет компоненты

В чисто гравитационном поле имеем:

Из этих четырех уравнений два являются тождествами, именно, свернутыми тождествами Бьянки с индексами

3 и Можно убедиться, что последнее уравнение (13.38) вытекает из трех предыдущих:

Первые три уравнения в свою очередь связаны соотношением

Две функции и должны обращаться в нуль на бесконечности. Далее, из уравнений (13.36) видно, что имеют особенность (т. е. неопределенны) на оси если, только не обращается на ней в нуль, т. е. если не равно нулю при

Первое уравнение (13.38), является линейным однородным уравнением только для кроме того, оно является уравнением Лапласа в цилиндрических координатах для функций, обладающих осевой симметрией. Известно, что решения уравнения Лапласа, не считая решения , удовлетворяют граничным условиям на бесконечности только в том случае, если они имеют особенность в какой-либо точке, находящейся на конечном расстоянии от начала координат. Особенности вне оси всегда представляют собой, окружности, в то время как на оси могут быть особенности точечного типа, вида или производные по от таких „полюсов.

Однако не все эти решения совместимы с дифференциальными уравнениями для Если уравнение удовлетворяется в некоторой односвязной области пространства то в силу (13.40) уравнения для имеют решения. Но при наличии особенностей пространство уже не будет односвязным.

Рассмотрим сначала особенности вне оси Если выбрать решение уравнения с произвольной окружностью особых точек, интеграл по замкнутому контуру,

окружающему такую особенность в плоскости

вообще говоря, не будет обращаться в нуль. Однако если интеграл (13.41) не исчезает, функция не будет однозначно определена вне особенности; иначе говоря, обращение в нуль интеграла (13.41) является необходимым условием существования решения.

Перейдем к рассмотрению особенностей на оси . Вне особенности равно нулю на оси следовательно, если предположить, что обращается в нуль в некоторой точке на оси оно будет равно нулю на всей оси до особой точки. Сама особая точка должна быть такова, что должен обращаться в нуль интеграл от дифференциала

взятый по малой полуокружности около особенности от одной точки пересечения этой полуокружности с осью до другой.

Рассмотрим типичную особенность на оси

Производные от равны

Дифференциал (13.42) принимает вид:

Проведем интегрирование по малой полуокружности. Для этого введем угол

Подставляя эти выражения в уравнение (13.44), получим:

Интегрирование производим от до . Имеем

Решение [уравнение (13.43)] совместимо с условиями регулярности для V.

Рассмотрим теперь случай наличия двух особенностей. В одной особой точке решение с особенностью в другой точке можно разложить в степенной ряд по и предположить, что вблизи от начала координат имеет вид

Перед тем как снова вычислять интеграл, заметим, что только некоторые коэфициенты разложения могут входить в интеграл по полуокружности. Значение интеграла, конечно, не зависит от размеров полуокружности, т. е. от до тех пор, пока эта окружность не охватывает никакой другой особой точки, кроме первоначальной . Поэтому не должны рассматриваться все коэфициенты делающие значение интеграла зависящим от . Кроме того, регулярная часть сама по себе не может ничего прибавить к неисчезающему интегралу, поэтому нужно

рассматривать только перекрестные произведения сингулярной и регулярной частей Производные сингулярной части (при заданном ) убывают как . Они умножаются на на дифференциалы координат и эти дифференциалы возрастают, как и на производные от регулярной части Поэтому для нас представляют интерес только те члены разложения, производные которых зависят только от но не от Единственным таким членом будет Заменим поэтому выражение (13.47) на

Вычислим выражение

Только выписанные члены могут привести к неисчезающим значениям интеграла. Получим:

Интеграл этого выражения в пределах от до не равен нулю.

Мы нашли, что в окрестности одной из особых точек производная по z от регулярной части должна обращаться в нуль. Это исключает возможность одновременного существования нескольких особых точек на оси Это выглядит так, как будто сами уравнения поля исключают движения точечных масс, не совместимые с уравнениями движения. В главе XV мы увидим, что это действительно так.