Решение линеаризованных уравнений поля.

Рассмотрим сначала статические решения уравнений поля, т. е. решения, не зависящие от Предполагая, что переменные поля зависят только от трех координат линеаризованные уравнения приводятся к виду

и

Обычно компонента велика по сравнению с остальными компонентами тензора . Поэтому рассмотрим следующий случай:

Эти уравнения могут быть решены в предположении что из всех величин только компонента отлична от нуля. удовлетворяет уравнению Пуассона в трех измерениях. Решение представляется интегралом

Мы уже видели, что величина должна играть роль классического гравитационного потенциала О, входящего в уравнения (10.5) и (10.7). Так как из всех у только отлична от нуля, для получаем выражение

Отсюда видно, что удовлетворяет дифференциальному уравнению

Сравнивая это уравнение с уравнением (10.7), найдем, что постоянная а равна

Теория гравитации, в которой материя рассматривается как сплошная среда, остается неполной, пока неизвестно уравнение состояния среды. Если материя настолько разрежена, что не существует взаимодействия между соседними элементами объема, тензор Рможно заменить через

где удовлетворяет уравнению (12.1), а изменение определяется законами сохранения

Во всех остальных случаях необходимо делать какие-то предположения относительно характера внутренних сил в среде. При этом еще не так легко выяснить, совместимы ли эти предположения с принципами теории относительности. Например, с релятивистской точки зрения понятия абсолютно твердого тела или несжимаемой жидкости не имеют смысла. В таких средах упругие волны должны распространяться с бесконечно большой скоростью, в противоречии с основным принципом теории относительности о невозможности распространения сигнала со скоростью, большей с. Если бы существовала релятивистская теория, описывающая взаимодействие отдельных частиц среды, можно было бы найти уравнение состояния, не противоречащее принципу теории относительности. В действительности это сделано лишь для немногих типов молекулярных взаимодействий.