Тензорные плотности.

Векторное произведение двух векторов а и b обычно определяется как вектор, перпендикулярный к а и а по абсолютной величине равный Всегда существуют два вектора, удовлетворяющих этим условиям, как, например, на фиг. 6.

Фиг. 6. Векторное произведение. В правой системе координат представляет векторное произведение а и Ь.

Выбор одного из них производится обычно наложением условия, что векторы должны образовывать „винт" того же направления, что и оси координат, взятые в последовательности На фиг. 6 этому условию удовлетворяет вектор в силу того, что мы выбрали „правую" систему координат. Если произвести зеркальное отражение (например изменить направление оси X на фиг. 6 на обратное), то автоматически станет векторным произведением а и

Таким образом, векторное произведение не является обычным вектором, так как око меняет знак при переходе от правой системы координат к левой, и наоборот. Такие величины называются „аксиальными векторами",

в то время как обычные векторы называются «полярными векторами».

В декартовой системе координат компоненты Р имеют следующий вид:

Аналогично ротор векторного поля определяется, как «аксиальный вектор» с компонентами

С точки зрения тензорного анализа можно избежать понятия «аксиального вектора», представляя векторное произведение и ротор как антисимметричные тензоры второго ранга

и

Можно показать, что все уравнения, в которые входят „аксиальные векторы", могут быть записаны ковариантным образом с помощью таких антисимметричных тензоров. Однако такая трактовка недостаточно ясно показывает связь между законами преобразования антисимметричного тензора второго ранга и «аксиального вектора». В то же время, вводя наряду с понятием тензора новое понятие «тензорной плотности», мы попрежнему можем пользоваться методами обычного векторного анализа.

Тензорные плотности преобразуются так же, как обычные тензоры, с той лишь разницей, что они умножаются еще на детерминант преобразования (5.15). Пока этот детерминант равен т. е. пока мы имеем «собственно

ортогональное преобразование» без отражений, не существует разницы между тензорами и тензорными плотностями. Однако при зеркальном отражении происходит изменение знака тензорных плотностей по сравнению со знаком тензоров. Таким образом, тензорные плотности находятся в таком же отношении к обычным тензорам, как каксиальные векторы к «полярным векторам». Их закон преобразования может быть записан в виде:

Для них законы алгебры и анализа таковы: сумма или разность тензорных плотностей одинакового ранга является тензорной плотностью того же ранга. Произведение тензора на тензорную плотность является тензорной плотностью. Произведение двух тензорных плотностей дает тензор.. Свертывание тензорной плотности приводит к новой тензорной плотности низшего ранга. Производные компонент тензорной плотности являются компонентами новой тензорной плотности, ранг которой на 1 выше ранга первоначальной тензорной плотности.