Число алгебраически независимых компонент тензора кривизны.

Компоненты ковариантного тензора кривизны удовлетворяют алгебраическим соотношениям (11.28), (11.29) (в обеих этих формулах индекс и предполагается опущенным), (11.40) и (11.41). Поэтому количество алгебраически независимых его компонент уменьшается. В этом разделе мы покажем, что их число в -мерном пространстве равно

В двумерном пространстве тензор кривизны имеет только одну отличную от нуля компоненту, одного скаляра уже достаточно, чтобы полностью охарактеризовать кривизну В трехмерном пространстве существует шесть алгебраически независимых компонент тензора кривизны. Такое же количество независимых компонент имеет и свернутый тензор в

этом случае им полностью определяется тензор кривизны . В четырехмерном пространстве равно 20, в то время как свернутый тензор кривизны имеет только 10 независимых компонент. Кривизна пространства, числе измерений которого меньше четырех, полностью определяется свернутым тензором кривизны

Перейдем к выводу формулы (11.48). Разделим компоненты на три группы: к первой группе отнесем компоненты, у которых индексы во второй паре имеют те же значения, что и индексы в первой паре, например ко второй — компоненты, в которых только один индекс встречается дважды, например наконец, в последнюю группу войдут компоненты, у которых все четыре индекса различны, например

В первой группе, где различны только два индекса, первые и вторые индексы пар должны быть одинаковыми, так как в силу уравнений (11.28) и (11.40) два индекса одной пары не могут равняться друг другу. Эти компоненты имеют вид (помнить: здесь одинаковые индексы не знак суммы), отличается от только знаком. Количество компонент такого типа равно числу пар при

Индекс может принимать различных значений. Так как при заданном может принимать только различных значений. Ввиду того что последовательность безразлична, произведение нужно разделить на 2. Отсюда число различных равно

и количество алгебраически независимых компонент с двумя индексами будет также

Циклические тождества (11.29) не уменьшают этого числа, так как они будут независимы от других алгебраических тождеств, только если все четыре индекса различны. Действительно, если два из четырех индексов равны, (11.29) приводятся к одной из следующих форм:

или

Эти уравнения являются следствием уравнений (11.28), (11.40) и (11.41).

Рассмотрим теперь вторую группу компонент, которые имеют по три различных индекса. Применением (11.28) и (11.40) все эти компоненты могут быть приведены к форме Значение может быть выбрано способами. Из оставшихся чисел нужно выбирать пары различных чисел для . Согласно (11.49) это можно сделать способами. Соответственно этому число алгебраически независимых компонент второго типа равно

Циклические тождества и в этом случае не уменьшают их числа.

В компонентах третьей группы все четыре индекса различны. Поэтому первую пару индексов можно выбрать различными способами. Из оставшихся

чисел вторую пару индексов можно выбрать различными способами. Согласно (11.41), последовательность обеих пар безразлична, поэтому результат «ужно еще разделить на 2. Таким образом, имеем

способов выбора двух Совершенно различных пар индексов.

Однако в этом случае число алгебраически независимых компонент уменьшается еще и за счет существования тождеств (11.29). Например, каждая из трех компонент имеет различную комбинацию пар индексов, но любая из них может быть выражена через две других. Число алгебраически независимых компонент с четырьмя различными индексами поэтому равно

Полное число алгебраически независимых компонент получается суммированием что приводит к (11.48).