Тензоры.

Во многих разделах физики мы встречаемся с величинами, законы преобразования которых несколько сложнее, чем для векторов. В качестве примера рассмотрим так называемый «векторный градиент». Если задано векторное поле можно образовать совокупность величин, определяющих изменение каждой компоненты при переходе из точки с координатами в произвольном направлении в бесконечно близкую точку с координатами . Приращениями величин будут

девять величин к называются векторным градиентом от . Законы преобразования этих величин легко получить обычным способом:

Векторный градиент является примером нового класса величин, тензоров, к рассмотрению которого мы теперь перейдем. В общем случае тензор имеет индексов, каждый из которых может принимать значения от 1 до 3. Тензор имеет

поэтому компонент. Эти компоненты преобразуются согласно следующему закону:

Число индексов называется рангом тензора. Векторный градиент является тензором второго ранга, вектор — тензором первого ранга, а скаляр может быть назван тензором нулевого ранга.

Важным тензором является символ Кронекера. Его компоненты во всех координатных системах, согласно (5.30) и (5.76), однн и те же:

Сумма или разность двух тензоров одинакового ранга является тензором того же ранга. Запишем этот закон для тензоров третьего ранга:

Доказательство такое же, как для соответствующего векторного закона (5.19).

Произведение двух тензоров рангов М и является новым тензором ранга

Ранг тензора может быть понижен на 2 (или на любое четное число) посредством операции, называемой «свертыванием». Любые два индекса могут быть превращены в пару немых индексов. Например, свертыванием тензора можно получить тензоры Очень просто доказать, что в результате свертывания получается тензор. Для первого из приведенных примеров оно проводится так:

В силу (5.10а) правая часть равна

При свертывании векторного градиента (тензор второго ранга) мы получаем дивергенцию (тензор нулевого ранга). Операции умножения (5.34) и свертывания могут быть скомбинированы так, что в результате получаются тензоры такие, как

Тензоры могут обладать свойствами симметрии по отношению к своим индексам. Если тензор не меняется при перестановке двух или более индексов, он называется симметричным относительно этих индексов. Например:

Первый тензор симметричен относительно первых двух индексов, второй тензор симметричен относительно первых трех индексов.

Если компоненты тензора остаются неизменными при четной перестановке индексов и меняют знак при нечетной перестановке, тензор называется антисимметричным (иногда кососимметричным) относительно этих индексов. Например,

Все эти свойства симметрии тензоров являются инвариантными. Доказательство этого элементарно и предоставляется читателю.

Тензор Кронекера симметричен относительно своих двух индексов.