Тензоры.

Тензоры определяются как совокупность величин (компонент) — ранг тензора), которые преобразуются относительно каждого своего индекса, как вектор. Оки могут быть ковариантными во всех индексах, контравариантными во всех индексах или смешанными, т. е. в некоторых индексах ковариантными, а в остальных контравариантными. Те индексы, относительно которых тензор контравариантен, ставятся наверху, а те, относительно которых он ковариантен, ставятся внизу. Для иллюстрации этого определения приведем пример смешанного тензора третьего ранга:

Свойства симметрии тензоров инвариантны относительно преобразований координат, если речь идет об индексах одного типа (ковариантных или контравариантных).

Символ Кронекера является смешанным тензором:

Произведение двух тензоров рангов дает тензор ранга причем каждый индекс каждого множителя продолжает оставаться ковариантным или контравариантным. Подобно тому как скалярное произведение ко- и контравариантного векторов приводит к скаляру, любые два индекса разного положения (т. е. верхний и нижний) можно использовать для суммирования, и в результате получить тензор на два ранга ниже. Примеры подобных произведений таковы:

Если соответствующие компоненты двух тензоров одинакового ранга складываются или вычитаются, их сумма или разность являются компонентами нового тензора в случае, если оба исходных тензора имеют одинаковое число индексов каждого типа.

Таковы простейшие правила тензорной алгебры. Они показывают, как образуются новые величины, преобразующиеся по законам типа (5.58).