Эффект Комптона.

Интересным приложением релятивистских законов сохранения является теория эффекта Комптона. Рассмотрим «столкновение» у-кванта и свободного электрона. При этом можно определить длину волны у-кванта и скорость электрона после соударения, не делая никаких предположений относительно природы сил взаимодействия.

Формулы (6.15) и (6.17) неприменимы для у-кванта, так как знаменатель обращается в нуль при и, равном с. Более того, не имеет смысла говорить о покоя фотона, так как не существует системы отсчета, в которой он покоился бы. Вместо (6.17) будем использовать квантово-механическую связь между частотой и энергией

где А — постоянная Планка.

Компоненты импульса и энергия, деленная на образуют контравариантный мировой вектор. С другой стороны, частота преобразуется так, что выражение

является инвариантом (k — трехмерный единичный вектор, перпендикулярный к фронту волны). Следовательно, величины являются компонентами ковариантного мирового вектора, а величины в силу этого представляют контравариантные компоненты того же мирового вектора. Из уравнений преобразования, связывающих с , следует тогда, что импульс у-кванта должен даваться

выражением

а его величина равна

Сформулируем теперь условия, определяющие столкновение укванта с электроном. Предположим, что первоначально у-квант движется параллельно оси X, электрон покоится (фиг. 8).

Фиг. 8. Эффект Комптона.

Массу покоя электрона обозначим через т. После столкновения электрон будет двигаться под некоторым углом а к оси X, а у-квант другой частоты движется после столкновения в другом направлении, определяемом углом Введем такие координаты, так чтобы все траектории лежали в плоскости X, Y.

До столкновения полная энергия Е и полный импульс Р задаются выражениями:

После соударения энергия равна

а компоненты полного импульса в направлениях х и у будут

Принимая во внимание законы сохранения, получим

Нас интересует как функция угла рассеяния Поэтому исключим из уравнений сначала а, а затем и. Для исключения а изолируем в уравнениях для импульсов члены, содержащие а, затем возведем эти уравнения в квадрат и сложим. В результате вместо двух последних уравнений

(6.30) получим уравнение

В первом уравнении (6.30) избавляемся от корня, изолируя член, его содержащий, и возводя в квадрат:

Далее, вычитая (6.32) из (6.31), исключим и:

Для того чтобы получить обычно употребляющееся выражение, заменим на и вместо частоты введем длину волны согласно формуле:

Окончательно получим

Наибольшее изменение длины волны имеет место, когда у-квант рассеивается в обратном направлении. Оно равно в этом случае удвоенному значению так называемой комптоновской длины волны