Векторы.

Закон преобразования является общим законом преобразования векторов относительно ортогональных преобразований. Иначе: вектор определяется как совокупность трех величии, преобразующихся как координатные разности:

Если координаты вектора заданы в некоторой декартовой системе координат, их можно найти и в любой другой системе.

Норма вектора определяется как сумма квадратов его компонент.

Покажем, что норма инвариантна относительно ортогональных преобразований, т. е.

Подставляя вместо и используя уравнения (5.10а), получим:

что и доказывает справедливость (5.17) при ортогональных преобразованиях.

Скалярное произведение двух векторов определяется как сумма произведений их соответствующих компонент:

Инвариантность этого выражения относительно ортогональных преобразований доказывается аналогично тому, как это было сделано для (5.17). Норма вектора есть скалярное произведение вектора на самого себя.

Слово скаляр часто употребляется в векторном и тензорном анализе вместо слова инвариант. «Скалярное произведение» означает «инвариантное произведение».

Суммы и разности векторов также являются векторами

То, что новые величины действительно преобразуются согласно (5.16), следует из линейного и однорядного характера этого закона преобразования.

Произведение вектора на скаляр (инвариант) есть вектор

Доказательство предоставляем читателю.

Обсуждение оставшейся алгебраической векторной операции — векторного произведения будет проведено ниже в этой главе, так как трансформационные свойства векторного произведения не совсем такие же, как у вектора.