Глава II. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Закон инерции, инерциальные системы.

Механика Галилея — Ньютона была первой областью физики, ставшей наиболее развитой экспериментальной наукой. Прежде всего был установлен закон инерции: тела, не взаимодействующие с другими телами, продолжают оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Другими словами, движение таких тел является неускоренным.

Чтобы выразить закон инерции в математической форме, мы будем описывать положение тела его тремя координатами: . Если тело не находится в состоянии покоя, его координаты являются функциями времени. Согласно закону инерции, когда на тело не действуют силы, вторые производные этих трех функций, т. е. ускорения, обращаются в нуль:

Мы пользуемся обычным обозначением х вместо

Первый интеграл уравнений (2.1) выражает постоянство трех компонент скорости:

Уравнения, выражающие закон инерцин, содержат координаты и относятся поэтому к определенной системе координат. Пока система координат не выбрана, закон инерции в том виде, как он сформулирован выше (см. курсив), еще не имеет точного смысла. Для любого тела мы всегда можем ввести систему отсчета, в которой оно покоится и, следовательно, не ускорено. Правильная

формулировка такова: существует система (или системы) координат, относительно которой все тела, не испытывающие действия сил, движутся неускоренно. Системы координат, обладающие такими свойствами, и соответствующие им системы отсчета называются инерциальными системами.

Конечно, не все системы отсчета являются инерциальными. Например, будем исходить из инерциальной системы координат S и произведем преобразование (1.2) к системе S, вращающейся с постоянной угловой скоростью относительно S. Чтобы получить законы преобразования уравнений (2.1) и (2.2), продифференцируем уравнения преобразования (1.2) сначала один, а затем второй раз по времени Получающиеся уравнения содержат и их первые и вторые производные по времени.

Мы предположили, что система координат S инерциальна. Поэтому подставим вместо х, у и z и х, у и z соответственно выражения (2.1) и (2.2). Таким образом, получаем для координат, отмеченных звездочкой и их производных,

и

Оказывается, что в системе координат S не все вторые производные по времени исчезают. Иногда бывает удобно перейти к системе отсчета, в которой появляющиеся ускорения обусловлены не действительным взаимодействием тел. Умноженные на массы, эти ускорения трактуются как

реальные силы и большей частью носят название «сил инерции». Несмотря на это название, они не являются настоящими силами; они только формально входят в уравнения так же, как обычные силы. В нашем случае первые члены умноженные на массу, называются „центробежными силами”, а последние члены, также умноженные на массу, называются силами Кориолиса.

С другой стороны, существуют типы преобразований координат, оставляющие формы закона инерции (2.1) неизмененными. В качестве такого случая рассмотрим раньше всего преобразования типа (1.1), не связанные с переходом к новой системе отсчета. Дифференцированием (1.1) с подстановкой и так далее из (2.1) и (2.2) получаем уравнения:

и

Компоненты скорости, как и следовало ожидать, преобразуются, как компоненты вектора, а уравнения (2.1) воспроизводятся в новых координатах без изменения своего вида.

Другое преобразование, сохраняющее вид закона инерции, есть преобразование типа (1.3). Оно соответствует переходу от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно. Дифференцируя (1.3) два раза, получим:

и, если движение тела в системе S подчиняется закону инерции (2.1), мы имеем также:

в то время как первые производные отмеченных звездочкой координат [если уравнения (2.2) относятся к неотмеченным, звездочкой координатам] равны:

Уравнения (2.8) показывают, что закон инерции выполняется в новой системе так же, как и в старой. Уравнения (2.9) выражают тот факт, что скорость в новой координатной системе S равна разности скорости в старой системе и относительной скорости обеих систем. Этот закон часто называют (классическим) законом сложения скоростей.

Системы отсчета и системы координат, в которых справедлив закон (2.1), являются инерциальными системами. Все декартовы системы координат, покоящиеся относительно инерциальной системы координат, сами являются также инерциальными системами. Декартовы системы координат, связанные с системой отсчета, равномерно и прямолинейно движущейся относительно некоторой инерциальной системы, также являются инерциальными системами. С другой стороны, если мы перейдем к новой системе отсчета, ускоренно движущейся относительно первой, то преобразования координат в этой новой системе не приведут к уравнениям (2.1). Ускорение новой системы отсчета относительно инерциальной системы проявляется в появлении ускорения тел, не связанного с наличием реальных сил.