Анализ в p-формализме.

Кроме дифференциальных ковариантов риманова пятимерного пространства, существуют еще дифференциальные коварианты, свойственные только рассматриваемому здесь формализму. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

Внутреннее произведение (обычной) производной -тензора на вектор

является -тензором того же типа. Доказательство проводится непосредственным вычислением. Будем называть этот тип ковариантного дифференцирования - дифференцированием, -тензор, -производная которого равна нулю, будем называть полем, цилиндрическим относительно -поля, или, короче, — цилиндрическим.

Рассмотрим теперь некоторые из таких -производных. В первую очередь остановимся на -производной метрического -тензора, Покажем, что она может быть выражена через ковариантные производные -поля. Величины можно заменить выражением

Преобразуем произведение, стоящее справа от точки:

Теперь можно сгруппировать члены таким образом, чтобы получить выражение (пятимерного) тензора:

где — соответственно тензор и вектор, определяемые выражениями:

Для -производной метрического тензора, находим, таким образом:

Квадрат линейного элемента

равен сумме квадратов -линейного элемента

и компоненты дифференциала координатного вектора в А-направлении

Рассмотрим произвольную кривую в пятимерном пространстве, конечные точки которой суть Если всю кривую сместить так, чтобы все ее точки сдвинулись вдоль -кривых на одно и то же расстояние, то -длина кривой

останется неизменной, если -метрика является Л-цилиндрической. -длина кривой останется неизменной, если вектор В равен нулю:

а (пятимерная) длина кривой не изменится, если А-поле удовлетворяет уравнению Киллинга

Для того, чтобы -метрика была цилиндрической, достаточно, чтобы правая часть уравнения (17.15) равнялась нулю. Это условие слабее, чем условие Киллинга, так как произведение правой части уравнения (17.15) на А? тождественно равно нулю; другими словами, существует только десять алгебраически независимых компонент уравнения (17.15), в то время как уравнения Киллинга имеют пятнадцать компонент. Очевидно, что из одновременной цилиндричности -метрики и цилиндричности , А-метрики“ следует цилиндричность (пятимерной) метрики, и наоборот.

Далее рассмотрим -производную от антисимметричного -тензора

Этот тензор впоследствии будет интерпретирован, как тензор электромагнитного поля. Его А-производными будут

В квадратных скобках исключим Это можно сделать при помощи следующего преобразования:

Поэтому имеем:

Так как произведение на равно нулю, имеем

Чтобы вычислить выражение в квадратных скобках, примем во внимание, что циклическая производная от равна нулю и что также равно нулю. Учитывать при этом нужно только те члены, в которых один из двух множителей заменем на а другой — на Тогда получим

После проведения дифференцирования большинство членов выпадает, либо в силу того, что равно нулю, либо благодаря тому, что непродифференцированные умножаются на Окончательным результатом будет

Рассмотрев -дифференцирование перейдем к рассмотрению другой дифференциальной операции, -дифференцирования". Назовем выражение

-производной от V по . Если функция А-цилнндриче-ская, -производная будет обычной производной от V по аргументу . (А-цилиндрическая функция может рассматриваться как функция только параметров -производные скаляра образуют -вектор.

Вообще говоря, -производные не коммутируют. Их перестановочными соотношениями будут

Если V А-цилиндрическая функция, ее -производные, являющиеся обычными производными, должны коммутировать, т. е. правая часть уравнения (17.26) обращается в нуль. Поэтому выражение в скобках пропорционально

можно найти, умножая уравнение (17.27) на

Отсюда имеем:

и

-производные от -тензора, вообще говоря, не ковариантны. Однако антисимметричные -производные от -вектора образуют -тензор, а циклическая -производная антисимметричного -тензора второго ранга также является -тензором.

Особенный интерес представляет собой -тензор Этот тензор можно выразить через антисимметричные производные от

В силу того, что циклическая производная равна нулю, нужно оставить только следующие члены:

Пользуясь (17.28), антисимметричные -производные от можно исключить и окончательным результатом будет

Введем теперь понятие ковариантного дифференцирования -тензоров. Если является -вектором, то легко показать, что дифференциальные выражения

образуют смешанный тензор -вектор относительно а, вектор относительно если коэфициенты преобразуются согласно закону

Имеется величин . Чтобы их найти, нужно задать такое же количество связывающих их соотношений. У словия

слишком жестки, так как их больше, чем нужно, с другой стороны, условий

слишком мало. Необходимые условия должны зависеть от трех индексов, одного координатного и двух параметрических. Условия

являются как раз условиями такого типа. Непосредственное вычисление показывает, что эти условия удовлетворяются, если принимают значения

Можно также показать, что при таком выборе удовлетворяются и условия (17.32). Однако условия (17.31) не удовлетворяются, вместо них имеем

Ковариантную -производную тензора или -тензора по определим, как ковариантную производную по , умноженную на

и

симметричны в Известно также, что выражения равны нулю, если они образованы с помощью выражений (17.34). Отсюда следует, что имеют значения

Обратимся теперь к различным типам тензоров кривизны, которые можно образовать с помощью различных типов аффинной связности. Наиболее просто получить их, составляя различные перестановочные соотношения. В первую

очередь естественно отметить перестановочное соотношение Римана

Для получения перестановочных соотношений для производных -векторов понадобятся ковариантные производные от

Отсюда получаем перестановочные соотношения:

Выражение может быть преобразовано следующим образом:

так как здесь скобки второй строки обращаются в нуль. Подставляя это в (17.41), после небольших преобразований получим:

«Смешанный» тензор кривизны также может быть выражен через

Найдем далее перестановочные соотношения для ковариантных -производных (обычного) вектора:

Аналогичные вычисления дают перестановочные соотношения для -производных -вектора:

С другой стороны, эти же перестановочные соотношения можно выразить через

Сравнение правых частей уравнений (17.47), (17.46) (17.43) дает соотношения, связывающие величины и

Особенно существенными для применения этого формализма к теории Калуза являются выражения, получающиеся в результате двойного свертывания этих уравнений;

Член входящий в это выражение, представим в несколько иной форме:

Подставляя (17.50) в (17.49), найдем, что скалярная -кривизна связана с (обычной) скалярной кривизной соотношением

Следует подчеркнуть, что с точки зрения теории инвариантов развитый здесь формализм представляет собой не что иное, как теорию поля единичных векторов в метрическом пространстве. Значение такого представления состоит в том, что в единых теориях поля, использующих

пятимерный формализм для описания физического мира, четыре параметра х предполагаются представляющими четыре координаты нашего физического пространства.