Обобщенные преобразования.
«Длина» в пространстве Минковского, определяемая по (5.1), имеет вид, отличный от (5.26). Поэтому в дальнейшем мы не будем ограничиваться преобразованиями, оставляющими инвариантным (5.26), а рассмотрим более общие преобразования координат. Сперва может показаться, что мы уклоняемся от нашей основной цели, рассматривая преобразования гораздо более общего типа, чем преобразования Лорентца. Однако эти преобразования нам понадобятся в общей теории относительности; помимо этого, поскольку они во многих отношениях так же просты, как и менее общая гругша преобразований Лорентца, мы в дальнейшем будем избавлены от ненужных повторений.
Рассмотрим пространство, в котором введена декартова система координат, так что длина определяется согласно (5.26). Перейдем далее от декартовой системы координат к другой, недекартовой системе. Новые координаты обозначим через 
(индексы наверху, конечно, не надо путать с показателями степени). Мы имеем тогда:
где 
функций 
произвольны; предполагается только, что они нужное число раз дифференцируемы, что якобиан преобразования
нигде не обращается в нуль, и что действительны для всех действительных значений 
— квадратичная форма относительно 
вообще говоря, не является квадратичной формой относительно Однако квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками продолжает оставаться квадратичной формой по отношению к дифференциалам координат. В декартовых координатах бесконечно малое расстояние определяется соотношением
выражаются через 
следующим образом:
является 
независимо от выбора системы координат. Это подтверждает, таким образом, что при общих преобразованиях координат роль разностей координат 
и расстояния 
которыми удобно пользоваться в 
и 
