Обобщенные преобразования.

«Длина» в пространстве Минковского, определяемая по (5.1), имеет вид, отличный от (5.26). Поэтому в дальнейшем мы не будем ограничиваться преобразованиями, оставляющими инвариантным (5.26), а рассмотрим более общие преобразования координат. Сперва может показаться, что мы уклоняемся от нашей основной цели, рассматривая преобразования гораздо более общего типа, чем преобразования Лорентца. Однако эти преобразования нам понадобятся в общей теории относительности; помимо этого, поскольку они во многих отношениях так же просты, как и менее общая гругша преобразований Лорентца, мы в дальнейшем будем избавлены от ненужных повторений.

Рассмотрим пространство, в котором введена декартова система координат, так что длина определяется согласно (5.26). Перейдем далее от декартовой системы координат к другой, недекартовой системе. Новые координаты обозначим через (индексы наверху, конечно, не надо путать с показателями степени). Мы имеем тогда:

где функций произвольны; предполагается только, что они нужное число раз дифференцируемы, что якобиан преобразования

нигде не обращается в нуль, и что действительны для всех действительных значений

— квадратичная форма относительно вообще говоря, не является квадратичной формой относительно Однако квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками продолжает оставаться квадратичной формой по отношению к дифференциалам координат. В декартовых координатах бесконечно малое расстояние определяется соотношением

Дифференциалы выражаются через следующим образом:

Подставляя это в (5.47), получим:

Отсюда видно, что является квадратичной формой независимо от выбора системы координат. Это подтверждает, таким образом, что при общих преобразованиях координат роль разностей координат и расстояния которыми удобно пользоваться в декартовой системе координат при ортогональных преобразованиях, играют дифференциалы координат и дифференциал расстояния