Тензорные плотности. Тензорная плотность Леви-Чивита.

Тензорной плотностью называется совокупность величин, преобразующихся по закону:

где - постоянная, величина является характеристикой данной тензорной плотности; эта постоянная называется весом тензорной плотности. Тензоры — это тензорные плотности веса нуль. В зависимости от числа индексов говорят также о скалярной и векторной плотностях.

Сумма двух тензорных плотностей с одинаковым числом индексов каждого типа и одинакового веса является тензорной плотностью с теми же характеристиками. При умножении их веса складываются.

Символы Леви-Чивита представляют собой соответственно тензорные плотности с весом — число измерений). Доказательство этого утверждения просто и аналогично тому, которое было дано при рассмотрении ортогональных преобразований.

Детерминант ковариантного метрического тензора

является скалярной плотностью с весом 2.

Заметим, что с тензорными плотностями нам почти не придется иметь дела.