Лорентц-ковариантность уравнений Максвелла.

Если Н отождествить с , то уравнения (7.16а) перейдут в уравнения (7.5) и (7.6). Это означает, что уравнения (7.5) и (7.6) лорентц-ковариантны, если предположить, что А и преобразуются как компоненты ковариантного мирового вектора, а Н и представляют шесть компонент ковариантного антисимметричного мирового тензора.

Объединение Н и Е в один антисимметричный мировой тензор второго ранга образует основу релятивистской электродинамики. Мы покажем, что остальные уравнения поля также совместимы с таким законом преобразования.

Обозначим ковариантный мировой вектор с компонентами через и ковариантный тензор электромагнитного поля с компонентами

через Уравнения (7.5) и (7.6) представляются тогда системой

Антисимметричное выражение определяющее ротор вектора, удовлетворяет уравнениям

Это легко проверить, подставляя выражение (7.18) в левую часть уравнения (7.19). Те из уравнений (7.19), в которых, по крайней мере, два индекса равны, удовлетворяются тождественно, независимо от того, удовлетворяет антисимметричный тензор уравнению (7.18) или нет. Например,

просто из-за антисимметрии . В четырехмерном мире остаются только четыре нетривиальных уравнения со следующими комбинациями индексов (2,3,4), (1,3,4), (1,2,4), (1,2,3). Подставляя выражения (7.17) в (7.19), получим уравнения (7.2) и (7.3). Таким образом, эти два уравнения эквивалентны тензорному соотношению (7.19).

Остаются еще уравнения (7.1) и (7.4). По форме они подобны уравнениям (7.136) и (7.13в). Уравнения (7.136, в) были получены как трехмерное представление дивергенции контравариантного антисимметричного мирового тензора второго ранга. Подымая оба индекса у ковариантного тензора получим контравариантный тензор

Дивергенция этого тензора имеет компоненты

Правые части равны — Отсюда видно, что I и совместно образуют контравариантный мировой вектор, мировую плотность тока который связан с тензором поля уравнением

Это уравнение эквивалентно уравнениям Максвелла (7.1) и (7.4).

При образовании дивергенции от (7.20) левая часть исчезает тождественно из-за антисимметрии Поэтому мы получаем одно уравнение, содержащее только компоненты

Это уравнение идентично с (7.7).

Уравнения поля Максвелла лорентц-ковариантны, если входящие в них величины отождествить указанным выше способом с компонентами мировых векторов и мировых тензоров. Прежде чем перейти к рассмотрению выражения для пондеромоторных сил, мы коротко остановимся на вопросе о физическом смысле законов преобразования.