Перестановочные соотношения для ковариантного дифференцирования, тензорный характер.

Обращение в нуль выражения в уравнении (11.22) эквивалентно интегрируемости аффинной связности и поэтому

должно быть инвариантным свойством. Однако существуют пространства, не являющиеся плоскими и в которых отлично от нуля (например, поверхность сферы). Выясним, по каким законам преобразуются величины

Чтобы ответить на этот вопрос, найдем тензорные уравнения, в которых фигурируют Таковыми являются перестановочные соотношения для ковариантного дифференцирования. Вычислим величину

Согласно определению ковариантного дифференцирования имеем

Вторичное ковариантное дифференцирование приводит к выражению

Предположим, что коэфициенты аффинной связности симметричны в своих нижних индексах. После вычитания из (11.24) уравнения с переставленными подчеркнутые члены уничтожаются в силу их симметрии относительно и . В результате получаем соотношение

Это уравнение является перестановочным соотношением для ковариантного дифференцирования. В плоском пространстве ковариантное дифференцирование коммутативно, подобно обычному дифференцированию. Это можно было предвидеть, так как в плоском пространстве существуют системы координат, в которых ковариантное и обыкновенное дифференцирования эквивалентны.

Если пространство не является плоским, коммутатор зависит только от непроднфференцированного вектора.

Перестановочное соотношение для ковариантного дифференцирования ковариантных векторов имеет вид:

Левые части в (11.25) и (11.26) преобразуются как тензоры. Следовательно, правые их части тоже являются тензорами. Из произвольности множителей следует, что сами являются компонентами тензора. Тензор

называется тензором кривизны (тензором Римана-Кристоффеля).