Получение уравнений поля из вариационного принципа.

Исходя из геометрии замкнутого пятимерного пространства с замкнутыми координатами, Эйнштейн и его сотрудники нашли две различные совокупности уравнений поля. В этой главе мы рассмотрим одну из этих совокупностей.

Можно получить уравнения поля, как уравнения Эйлера-Лагранжа вариационного принципа. Существуют четыре различных дифференциальных скаляра второго порядка, каждый из которых ведет к различным уравнениям поля. Такими скалярами являются:

Все остальные дифференциальные скаляры второго порядка отличаются от линейной комбинации этих четырех только на дивергенцию, которая не вносит изменений в уравнения Эйлера-Лагранжа. Линейная комбинация этих четырех скаляров, умноженная на квадратный корень взятого со знаком минус детерминанта, (или в случае специальной системы координат на и проинтегрированная по пятимерной области координат является инвариантом.

Вариация такого интеграла

должна сохранять характерные геометрические свойства замкнутого пространства, т. е. при использовании специальной системы координат вариации не должны зависеть от а вариации должны быть периодичны относительно с периодом S. Поэтому мы не можем потребовать, чтобы вариации равнялись нулю на всей

границе произвольной области интегрирования. Однако вариация на границе ничего не добавит к вариации интеграла в том случае, если при интегрировании обход по области совершается вокруг трубы только один раз, другими словами, интегрирование по производится только в пределах одного периода. Кроме того, должны при этом обращаться в нуль на той части границы, которая создается Л-кривыми. Таким образом, вариация принимает вид:

где предполагаются выполненными только что указанные условия не зависит от , является периодической функцией относительно , остающейся до известной степени произвольной). Интеграл I будет стационарен, если удовлетворяются следующие уравнения:

Мы не можем потребовать, чтобы везде обращались в нуль, так как, если интеграл (18.16), который нужно один раз взять вокруг А-кривой, равен нулю, вариации постоянные вдоль каждой А-кривой не будут входить в .

Интегро-дифференциальные уравнения (18.16) удовлетворяют пяти интегро-дифференциальным тождествам. Если произвести бесконечно малое преобразование специальных координат

переменные поля преобразуются следующим образом:

или

Если выбрать совокупность , обращающуюся в нуль на указанной части границы области интегрирования, создаваемой -кривыми, вариация при таких бесконечно малых преобразованиях должна обратиться в нуль, даже в том случае, когда уравнения (18.16) не удовлетворяются:

При проведении интегрирования по частям, необходимого для получения этих уравнений, были опущены все члены, представляющие собой ковариантные дивергенции. Ковариантная дивергенция -псевдовектора является линейной комбинацией обычных производных

Поэтому она обращается в нуль при интегрировании по области, на границе которой компоненты исчезают.

В уравнении не зависят от но во всем остальном остаются произвольными внутри области

интегрирования. Отсюда можно заключить, что уравнения (18.16) удовлетворяют тождествам

Относительно вида выражений и можно сказать следующее. содержит те же члены, что и уравнения поля общей теории относительности, в которых все производные заменены -производными

и так далее; кроме того, содержит члены, в которых -метрика продифференцирована по Выражение содержит максвелловские члены , кроме того, члены, являющиеся произведениями -производных и А-производных от Другими словами, мировая плотность тока в этой теории не равна иулю.