Заключение.

Очень важно выяснить, почему в одной теории поля (теории гравитации) уравнения движения получаются из уравнений поля, в то время как в другой теории (теории Максвелла) этого не происходит. Основная причина состоит в том, что уравнения гравитационного поля удовлетворяют четырем тождествам, тогда как уравнения Максвелла только одному. Значение этих тождеств для уравнений движения было показано как Вейлем при исследовании точных решений с осевой симметрией, так и Эйнштейном, Инфельдом и Гофманом в их приближенном методе.

Благодаря этим тождествам уравнения поля общей теории относительности являются одновременно как бы «переопределенными» и «недоопределенными». Уравнения поля линейны относительно вторых производных. Однако разрешить их относительно второй производной такой координаты, как невозможно, так как четыре из десяти уравнений поля, содержат только первые производные по 5. Поэтому невозможно произвольно задать все переменные поля и их первые производные по на некоторой гиперповерхности на этой гиперповерхности эти величины должны удовлетворять четырем условиям. В этом смысле уравнения переопределены.

Но в то же время, если задать переменные и их первые производные по на гиперповерхности в согласии с четырьмя уравнениями то останутся только шесть уравнений, определяющих поведение десяти переменных в направлении вторые производные по от четырех переменных остаются произвольными. В этом смысле уравнения недоопределены. Однако можно показать, что благодаря четырем свернутым тождествам Бьянки четыре уравнения продолжают удовлетворяться и вне выбранной гиперповерхности в том случае, если они удовлетворяются на этой гиперповерхности и если шесть уравнений удовлетворяются во всем пространстве.

Если же на выбранной гиперповерхности имеются изолированные области, в которых уравнения не удовлетворяются, то эти области можно окружить (пространственными) поверхностями, так что тождества заменятся условиями обращения в нуль четырех интегралов по этим поверхностям. Одно тождество, которому удовлетворяют уравнения Максвелла, дает для изолированных областей, только одно условие — условие сохранения заряда (см» главу XII). Однако в этом случае количество тождеств недостаточно для получения уравнений движения.

Уравнения гравитационного поля отличаются от уравнений электромагнитного поля Максвелла и в другом отношении: они нелинейны. В силу этого линейная комбинация нескольких решений не является решением уравнений. Если бы

решения получались как линейные комбинации, это означало бы отсутствие взаимодействия точечных масс друг с другом. Приближенный метод Эйнштейна, Инфельда и Гофмана показывает, что даже классическое взаимодействие точечных масс обусловлено нелинейными членами в уравнениях поля.

Отсюда явствует, что из теории поля законы движения вытекают только в том случае, когда уравнения поля нелинейны и удовлетворяют, по крайней мере, четырем тождествам. В общей теории относительности нелинейность уравнений поля обусловлена их ковариантностью относительно общих преобразований координат. Взаимодействие точечных масс является, таким образом, еще одним аргументом в пользу принципа общей ковариантности.

Прежде чем закончить обсуждение общей теории относительности, отметим еще некоторые возникающие здесь проблемы. Общая теория относительности дает нам логически стройную теорию гравитации. Однако электромагнитное поле остается логически независимым от гравитационного; общей теории относительности не удалось объединить эти два типа полей в единое целое. Был предпринят ряд попыток создать „единую теорию поля, в которой и электромагнитное и гравитационное поля являлись бы составными частями геометрической структуры пространства. Некоторые из этих попыток будут рассмотрены в третьей части книги.

Далее, общая теория относительности не дает нам удовлетворительной теории строения материи. Существующие в природе элементарные частицы обладают определенными характеристическими массами, зарядами и т. д. Однако теория относительности, в которой частицы представляют собой особенности поля, не может объяснить этого обстоятельства.

Квантовые явления целиком находятся вне сферы рассмотрения общей теории относительности. Волновая механика является нерелятивистской, так как она не может обойтись без представления о действии на расстоянии. Первоначальная теория электрона Дирака описывает лорентц-ковариантным образом действие электромагнитного поля на

один электрон; однако, поскольку само поле неквантовано, эта теория не определяет надлежащим образом поля самого электрона, поэтому в ней не могут рассматриваться проблемы, касающиеся взаимодействия нескольких заряженных частиц.

Попытки получения релятивистской квантовой теории квантованием самого электромагнитного поля оказались весьма успешными. Однако все «квантовые теории поля" неудовлетворительны с математической точки зрения в том отношении, что их решения всегда расходятся. Таким образом, в настоящее время не существует удовлетворительной квантовой теории, лорентц-ковариантной или ковариантной относительно общих преобразований координат.

И теория относительности и квантовая теория являются огромными достижениями современной физики по сравнению с физикой девятнадцатого столетия. Однако эти достижения поставили нас лицом к лицу с новыми, в настоящее время еще не решенными проблемами. Невозможно предсказать, как будут преодолены возникшие трудности, несомненно, однако, что будущие теории включат то лучшее, что имеется в квантовой теории и в теории относительности.

Задача

Получить уравнения движения электрически заряженных точечных масс (закон Кулона).