Мир Минковского и преобразования Лорентца.

Вернемся теперь к нашему исходному пункту: к теории относительности в трактовке Минковского. По представлениям Минковского, обычное трехмерное пространство и время образуют четырехмерный континуум, „мир“ с инвариантной длиной" или «интервалом", определением которых служит формула (5.1). „Мировая точка — это обычная точка, рассматриваемая в определенный момент времени; ее четыре координаты и t в дальнейшем часто будут обозначаться через Вводя „метрический тензор с компонентами

мы сможем записать (5.1) в виде

Преобразования Лорентца — это такие линейные преобразования координат, которые переводят метрический тензор в самого себя. Поэтому инерциальные системы специальной теории относительности аналогичны декартовым системам координат обычной трехмерной эвклидовой геометрии, а преобразования Лорентца соответствуют обычным

трехмерным ортогональным преобразованиям. Коэфициенты этих преобразований подчиняются условиям типа (5.10а).

При произвольном линейном преобразовании (не обязательно преобразовании Лорентца) уравнения преобразования имеют вид:

разности координат при этом преобразуются, как контравариантныз векторы:

Для того чтобы преобразование было лорентцовым, необходимо соблюдение следующих условий при произвольных

Подставляя из (5.103), получим

и в силу произвольности

Таким условиям должны удовлетворять коэфициенты преобразований Лорентца, что соответствует условиям (5.10а) для ортогональных преобразований.

Разница между четырехмерным эвклидовым пространством и миром Минковского заключается в том, что в последнем инвариант не является положительно определенной формой. По этой причине не существует вещественных преобразований координат, переводящих форму (5.101) в форму (5.26). Поэтому нам придется делать различие между ковариантными и контравариантными индексами.

Чтобы отличать координаты и тензоры в мире Минковского от координат и тензоров в обычном трехмерном пространстве, условимся относительно некоторых обозначений. Именно, латинские индексы будут относиться к обычному трехмерному пространству и пробегать значения от 1 до 3;

греческие индексы — к миру Минковского и пробегать значения от 1 до 4. Векторы и тензоры в мире Минковского мы будем называть „мировыми векторами и „мировыми тензорами".

Контравариантный метрический тензор имеет компоненты

Если коэфициенты преобразования контравариаитных тензоров: определяются условиями (5.106), то коэфициенты преобразования ковариантных тензоров являются решениями уравнений

Для получения явного выражения этих коэфициентов умножим уравнения преобразования ковариантного вектора

на и заменим через В результате получим

Выражение слева равно и, следовательно, равно так что

Далее в силу произвольности приравниваем коэфициенты:

Наконец, умножая на и свертывая, получим

Все алгебраические операции обобщенного тензорного исчисления применимы и к мировым тензорам. Детерминант

коэфициентов преобразования, как и в случае ортогональных преобразований, принимает только значения Поэтому тензорные плотности с четным весом преобразуются как тензоры, а тензорные плотности с нечетным весом — подобно „аксиальным" векторам трехмерного ортогонального формализма.

Компоненты метрического тензора постоянны; соответственно, символы Кристоффеля равны нулю, и ковариантные производные совпадают с обычными производными. Такие обычные производные мы будем обозначать запятой:

Теперь покажем, как коэфициенты преобразования Лорентца связаны с относительной скоростью двух систем координат:

S и S. При равномерном и прямолинейном движении точки скорость ее определяется отношениями разностей координат любых двух мировых точек, лежащих на ее траектории:

Скорость системы S относительно S есть скорость относительно S частицы Р, покоящейся в системе S. В системе

3 первые три координатные разности частицы равны нулю. Поэтому разности координат в системе S равны:

Следовательно, скорость S относительно S будет равна:

С другой стороны, можно найти скорость S относительно S, используя коэфициенты „обратного" преобразования определяемые уравнениями (5.108). Поскольку эти последние являются коэфициентами преобразования

согласно (5.114), можно написать

Используя уравнения (5.111), (5.100) и (5.107), правую часть можно записать в виде

Далее легко показать, что равно V. Образуем сперва трехмерную норму вектора определяемого уравнением (5.114):

В силу (5.106) для числителя можно написать

откуда найдем

Таким же образом преобразуем уравнение (5.116), имеем:

Аналогично получаем

и

Отсюда мы видим, что всегда определяется выражением