Волны де Бройля.
После Бора и Зоммерфельда следующий шаг в направлении развития строгой квантовой теории был сделан де Бройлем. Он предположил, что движение частицы вдоль траектории связано с распространением волн. Если траектория частицы замкнута, как, например, в атоме водорода, волны интерферируют между собой. Если на траектории умещается целое число длин волн, волны взаимно усиливаются. В противном случае они гасятся. Те траектории, вдоль которых волны усиливают друг друга, и являются „разрешенными" орбитами теории Бора-Зоммерфельда.
Рассмотрим свободную частицу, покоящуюся в некоторой системе координат S. Пусть ее масса покоя и энергия покоя будут соответственно равны 
Мы не можем связать с этой частицей распространяющуюся волну, так как нет никаких данных, благодаря которым было бы выделено определенное направление распространения. Однако частице можно сопоставить частоту 
в соответствии с законом Эйнштейна
так что частота покоящейся частицы будет равна
Волна де Бройля может быть представлена в виде „волновой функции
Произведем теперь преобразование Лорентца (4.13), (4.15). Энергия и импульс частицы в системе S даются выражениями:
Далее преобразуем волновую функцию 
Предположим, что 
— скаляр. В этом случае ее зависимость от координат определяется формулой:
Частота и длина волны имеют значения
Найдем скорость распространения в пространстве плоской гармонической волны де Бройля; эта скорость равна произведению частоты на длину волны:
Эта скорость, так называемая фазовая скорость, превышает с; ее произведение на 
равно с. Поскольку фаза волны де Бройля не может быть использована для передачи сигнала, уравнение (9.46) не противоречит основам теории относительности.
Рассмотрим, с другой стороны, волну де Бройля, не являющуюся строго гармонической, но состоящую из двух гармонических волн почти равной частоты. Амплитуда результирующей волны не будет постоянной, ее максимумы и минимумы будут двигаться в пространстве с некоторой скоростью, называемой «групповой скоростью. Определим эту групповую скорость 
. Запишем составляющие волны в виде
и
Результирующей волной будет
Квадратные скобки можно преобразовать с помощью соотношения
Тогда имеем
Отсюда скорость распространения амплитуды равна
или, рассматривая 
как дифференциалы,
В волне де Еройля у равно 
равно Поэтому для групповой скорости получим:
Далее, Е и 
связаны соотношением
согласно которому абсолютная величина вектора энергии-импульса равна энергии покоя. Из
находим, что
т. е. скорости частицы. Таким образом, групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы.
Задачи
(см. скан)
