Второе приближение и уравнения движения.

Во втором приближении необходимо использовать следующие контравариантные компоненты метрического тензора:

С их помощью находим выражения для символов Кристоффеля:

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Для получения уравнений движения необходимо иметь выражения для :

Некоторые члены этих выражений могут быть представлены как дивергенции антисимметричных величин. Поэтому для квадратной скобки имеем:

и кроме того,

С этого момента доказательство проводится так же, как и доказательство закона сохранения массы. Интегралы от по замкнутой поверхности S, на которой

нет особенностей, должны равняться нулю. С другой стороны, интегралы от выражений, эквивалентных ротору, независимо обращаются в нуль. Поэтому должны сами по себе обращаться в иуль и интегралы от остальных членов. Эти оставшиеся члены состоят только из величин, найденных в первом приближении. Если существует второе приближение, то равенство нулю интеграла от оставшихся членов является тем интегральным условием, которому должны удовлетворять величины первого приближения. Следующие три интеграла должны обращаться в нуль:

Если внутри поверхности S нет особенностей, условия (15.28) удовлетворяются тождественно, так как в этом случае, пользуясь теоремой Гаусса, поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный, подинтегральное выражение которого тождественно равно нулю. Обозначая подинтегральное выражение поверхностного интеграла через , получим

Покажем с помощью тождеств Бьянки, что подинтегральное выражение равно нулю. Обозначим еще выражения через Разлагая В в степенные ряды по

для получим

Так как уже предполагается, что уравнения первого приближения удовлетворяются в области V, то аходим, что первый член, — обращается в нуль, даже если уравнения второго и высших приближений не удовлетворяются.

Усливия (15.28) существенны, только если внутри поверхности S имеются особые точки. Значение интегралов (15.28) зависит от особенностей, находящихся внутри 5, но не зависит от формы и размеров этой поверхности. Выберем 5 в виде малой сферы радиуса центром которой является -особенность.

Вычислим далее явно три интеграла (15.28). Для выражений являющихся косинусами углов введем сокращенные обозначения Производными от по будут:

Вычисление упрощается, если подинтегральные выражения уравнений (15.28) разложить в степенные ряды по Поэтому удобно вместо трех координат ввести радиус и направляющие косинусы удовлетворяющие соотношению

Поскольку значения интегралов не зависят от формы и размеров поверхности S, они не зависят также и от Бели подинтегральные выражения разложить в

степенные ряды по (степенные ряды, содержащие и положительные и отрицательные степени), то будут отличны от нуля только интегралы от членов, содержащих Это объясняется тем, что „площадь” поверхности S пропорциональна и только члены подинтегрального выражения, пропорциональные могут сделать интегралы, не зависящими от Поэтому необходимые вычисления можно сократить, разлагая подинтегральные выражения в ряды и отбрасывая все члены, которые не умножаются на

Далее, если бы обращались в нуль, т. е. если бы особенность не существовала, интегралы (15.28) равнялись бы нулю тождественно. В силу этого, все члены, не зависящие от в значение интегралов ничего не вносят, и, следовательно, ими можно пренебречь. Разложим и каждую на две части:

где сумма распространяется на все значения кроме .

В входят как линейные относительно и члены, так и квадратичные. В линейных членах нужно рассматривать только выражения, зависящие от и Имеем:

Линейные члены, интеграл которых не равен нулю, умноженные на

равны

После интегрирования по S они дают

Обратимся теперь к квадратичным членам, и умножаются на их первые производные по пространственным координатам — на и их вторые производные — на Очевидно, что все члены, квадратичные относительно умножаются на и поэтому ничего не вносят в интегралы. Таким образом, необходимо рассматривать только члены, билинейные относительно выражений Кроме выражений t, нам еще понадобятся которые имеют вид:

Эти -выражения умножаются на X и ее производные. Само X умножается на вторые производные t, т. е. на выражения, пропорциональные Поэтому для вычисления интеграла существенны только те члены в степенном разложении которые пропорциональны По тем же причинам для вычисления интегралов (15.28) будут существенны только те члены первых производных от X, которых умножаются на эти члены являются первыми производными от интересующих нас членов в разложении самого X. Наконец, во вторых производных нас интересовали бы члены, пропорциональные но они равны нулю, так как X регулярна внутри S.

Для получения степенных рядов для I, разложим к сперва выражения Запишем в виде

Обозначим „координатные расстояния" между точечными массами через тогда для получим степенное разложение:

а разложение для X примет вид

Только второй член этого разложения

существен для интегралов (15.28). Его производные равны

Нелинейными членами в интегралах (15.28) тогда будут

Подставляя выражения (15.36) и (15.41) в уравнение (15.42), получим для

а для произведения на

Это выражение нужно проинтегрировать по поверхности S. Для этого рассмотрим интеграл

Нужно отдельно вычислить два интеграла:

и

Сферу S можно разделить на две полусферы, на одной из которых положительно, а на другой — отрицательно, в свою очередь будет положительно на одной половине каждой полусферы и отрицательно — на другой. Интеграл (15.46) обращается в нуль, так как интегралы по соответствующим четвертям сфер взаимно уничтожаются. Для вычисления интеграла (15.45) введем полярные координаты с полюсами в двух точках . Тогда получим:

Наконец, находим, что интеграл от выражения (15.44) равен

Наше условие заключается в том, что сумма из выражения (15.35) и должна равняться нулю:

Деля это уравнение на и подставляя вместо его значение из уравнения (15.14), получим классические уравнения движения

Метод Эйнштейна, Инфельда и Гофмана применим также и при наличии одновременно гравитационного и электромагнитного полей. И в этом случае во втором приближении уравнения поля имеют решения только тогда, когда первое приближение удовлетворяет некоторым интегральным условиям. Эти условия эквивалентны уравнению (15.48). с добавочным членом, соответствующим кулонову полю.