Проективные теории поля.

Калуза ввел пятое измерение исключительно с целью увеличения числа компонент метрического тензора, не приписывая ему никакого реального смысла. Аналогичная операция производится и в так называемых проективных геометриях, которые описывают -мерное пространство при помощи однородных координат. В проективной геометрии все «проективные точки», для которых все отношения однородных координат имеют одинаковые значения, рассматриваются, как «одна и та же» точка. Некоторые авторы, в частности Веблен и Гофман и Паули использовали этот принцип при создании своих единых теорий поля. Наш общий формализм применим и к их теориям, однако геометрическая интерпретация будет иной. Пятимерные координаты должны рассматриваться как «проективные координаты, в то время как реальное пространство является четырехмерным пространством параметров Каждая проективная -кривая является только точкой в реальном пространстве. Поэтому метрика по существу является А-цилиндрической, С точки

зрения нашего общего формализма нет разницы между теориями Калуза, Веблена и Гофмана и Паули. Уравнения поля во всех трех теориях одни и те же. Однако в каждой из этих трех теорий авторами используются различные системы координат.

Специальную систему координат Калуза мы уже рассмотрели. Обозначим его координаты через Веблен и Гофман выбрали систему координат, более часто встречающуюся в проективной геометрии. Она связана с координатами Калуза уравнениями

В такой системе координат компоненты метрического тензора имеют вид

Их выбор координат допускает, помимо преобразований первых четырех координат друг в друга, еще преобразования вида

при которых компоненты метрического тензора преобразуются следующим образом:

Паули выбрал систему координат, которая может быть в полном смысле слова названа однородной. Его координаты связаны с координатами Калуза уравнениями:

где — четыре однородные функции нулевой степени,

— однородная функция первой степени,

Переходы от одной однородной системы координат к другой производятся при помощи однородных уравнений преобразования первой степени

Контравариантными компонентами вектора А в однородных координатах будут

В формализме Паули сами координаты имеют векторный характер и идентичны с компонентами

Д-цилиндричность приобретает специфический вид в системе координат Паули. В координатах Калуза А-цилиндрический тензор не зависит от координаты При переходе

к координатам Паули тензор преобразуется согласно закону:

где являются функциями только от , следовательно, однородными функциями нулевой степени относительно Каждый коэфициент является функцией от умноженной на т. е. однородной функцией первой степени относительно . С другой стороны, каждый из коэфициентов — является однородной функцией степени относительно А-цилиндрический тензор однороден, и степень его однородности равна разности между количествами его контравариантных и ковариантных индексов.