Ковариантная форма тензора кривизны.

До сих пор мы не вводили метрики. Если метрика определена и связаны с нею уравнениями (11.3), тензор кривизны удовлетворяет еще дополнительным алгебраическим тождествам. Полностью ковариантный тензор кривизны получается опусканием индекса в уравнении (11.27):

Этот ковариантный тензор кривизны может быть выражен через „символы Кристоффеля первого которые получаются из коэфициентов аффинной связности умножением на

Первый член в может быть записан в виде:

Подставляя эти выражения в уравнения (11.36), получим

Записав ковариантный тензор кривизны в таком виде, можно убедиться в том, что к тождествам (1) и (2) можно добавить еще два алгебраических тождества.

4) Ковариантный тензор кривизны антисимметричен в своих последних двух индексах

Действительно, скобки в (11.39), очевидно, антисимметричны по отношению к и I. Первые же два члена содержат только следующую комбинацию вторых производных, компонент метрического тензора

Это выражение также антисимметрично по отношению к

5) Ковариантный тензор кривизны симметричен относительно перестановки обеих его пар индексов:

Это соотношение проверяется так же, как (11.40).

В оставшейся части этой главы мы будем рассматривать только метрические пространства, коэфициенты аффинной связности которого определяются формулой (11.3).