Релятивистская аналитическая механика.

Теперь можно перейти к рассмотрению основ релятивистской аналитической механики. При этом предполагается, что читатель хорошо знаком с основными положениями классической аналитической механики, в силу чего последующий обзор будет затрагивать только те вопросы, которые имеют непосредственное отношение к содержанию этой книги.

Дифференциальные уравнения движения механической (классической) системы, подвергающейся действию консервативных сил, записываются в виде

где Т — кинетическая, а - потенциальная энергия. Записанные так уравнения движения ковариантны не только относительно ортогональных преобразований пространственных координат, но и относительно произвольных преобразований координат, соответствующих степеням свободы системы.

Это так называемые уравнения Эйлера-Лагранжа для вариационной проблемы. Вариационная проблема — это проблема нахождения таких кривых, соединяющих две фиксированные точки, вдоль которых данный криволинейный интеграл принимает экстремальное значение. Рассмотрим -мерное пространство с координатами и t и криволинейный интеграл

подинтегральная функция которого вдоль пути интегрирования зависит от координат (и, возможно, t) и производных Варьируя при фиксированных конечных точках путь интегрирования на бесконечно малую величину, получим

где обозначает . Отсюда видно, что вдоль путей интегрирования, на которых величина экстремальна, справедливы уравнения (6.36).

Импульсы определяются уравнениями

С помощью этих соотношений дифференциальных уравнений (6.36) второго порядка могут быть преобразованы в уравнений первого порядка. Для этого нужно решить уравнений (6.39) относительно и образовать так называемую функцию Гамильтона

где предполагаются замененными решениями уравнений (6.39). Уравнения движения принимают теперь каноническую форму:

Этот формализм в целом ковариантен относительно общих преобразований трех пространственных координат (в действительности, даже относительно более общих преобразований). Особенностью, представляющей для нас специфический интерес, является возможность введения вместо времени t другого параметра. Обозначим этот параметр через и определим его уравнением

где предполагается заданным. Производные по t будем обозначать точками, а по — штрихами. Тогда имеем:

Теперь уравнения Эйлера-Лагранжа можно выразить через новый лагранжиан от . Производными от по его аргументам будут

В силу

уравнения Эйлера-Лагранжа приводятся к виду:

Отметим, что определение импульсов (6.39) инвариантно относительно такого преобразования параметра. Однако, помимо импульсов, нужно рассматривать также компоненту, канонически сопряженную времени Она равна—Н. Обозначим эту новую компоненту через

уравнения, определяющие импульсы, могут быть опять решены относительно величины и новый гамильтониан может быть определен как

Этот гамильтониан равен нулю. Однако если рассматривать как независимую переменную, его частные производные не исчезают. Они связаны с производными гамильтониана (6.40) следующим образом:

Таким образом, мы можем прибавить к уравнениям (6.41) следующее:

Гамильтониан (6.40) представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий. Эта полная энергия изменяется во времени со скоростью Уравнение (6.48) не независимо от уравнений (6.41). Его можно получить из последних, не прибегая к методу преобразования параметра. Действительно, полный дифференциал Н равен

и в силу (6.41)

Делением на получаем отсюда (6.48).

Преобразование параметра полезно в том отношении, что позволяет переходить от одного параметра t к другому параметру Оба представления при этом эквивалентны.

Перейдем к рассмотрению релятивистской механики, причем сначала изучим движение частиц, на которые не действуют силы. Лагранжиан является некоторой функцией от (если за параметр выбрано или от (если параметр есть ). В дальнейшем точками будем обозначать дифференцирование по t, а штрихами по собственному времени частицы т. Производные лагранжиана по этим переменным дают значения импульсов. Импульсы, канонически сопряженные координатам определяются формулами (6.15). Четвертая компонента импульса (канонически сопряженная времени) согласно (6.44) равна

где лагранжиан, соответствующий параметру

Примем сначала за параметр время t. Из дифференциальных уравнений

видим, что равно:

где — постоянная интегрирования. При этом интеграл принимает значение 11

где — собственное время вдоль пути интегрирования между двумя конечными точками . Этот интеграл лорентц-инвариантен, если равно нулю. Выражение

не зависит от пути интегрирования. Поэтому этот член ничего не дает для вариации если пределы интеграла не варьируются. Мы увидим, что величина определяет значение постоянной интегрирования в (6.17). Поскольку этот член неинвариантен, мы его опустим при переходе к четырехмерному представлению.

Уравнения

могут быть разрешены относительно

Гамильтониан определяется уравнением (6.40). В этом случае он равен

Если выбрать равным 1, равен релятивистской кинетической энергии; а при равным нулю, — полной энергии.

Для уравнений Гамильтона получаем

Перейдем теперь к параметру . Согласно (6.43)

Отсюда импульсы равны

Корни, входящие в уравнения (6.55) и (6.56), равны 1 [(см. (5.127)]. Если этого не учесть, решение уравнений (6.56) относительно станет невозможным. Вообще говоря, можно было бы выбрать некоторый другой параметр вместо скажем . При этом уравнения (6.56) имели бы точно такой же вид, только штрихи означали бы дифференцирование по . Однако в этом случае оказалось бы невозможным выразить только через . В рассмотренном же

случае мы используем то обстоятельство, что являются контравариантными компонентами единичного вектора, а ковариантными компонентами того же единичного вектора, идентично с Решение может быть записано в виде:

который аналогичен (6.156). Однако такой способ записи решения совершенно произволен.

Квадратный корень в знаменателе постоянен:

Поэтому решение может быть записано в общем виде:

где обращается в 1, когда аргумент равен 1, а в остальном совершенно произвольна. Используя (6.57а), получим для

Для краткости будем в дальнейшем обозначать квадратный корень через . Для уравнений Гамильтона имеем

где означает производную от по ее аргументу. Первый член справа исчезает, так как выражение в квадратных скобках равно нулю. Второй член равен [см. (6.57а)]:

Появление произвольной функции не случайно. Интеграл (6.52) при равен длине дуги мировой линии в пространстве Минковского. Уравнения Эйлера-Лагранжа являются дифференциальными уравнениями геодезических линий, соответствующих уравнениям (5.99).

Дифференциальные уравнения (5.99) можно получить не только из вариационного интеграла (5.93), так как любой вариационный интеграл

имеет вариацию

т. е. приводит к тем же уравнениям геодезических линий.

В нашем случае в качестве лагранжиана можно использовать любую функцию

при этом импульсы определяются как

где Ф — производная Ф по ее аргументу. Эти величины идентичны импульсам (6.56), если

Таким же образом в качестве гамильтониана можно использовать любую функцию импульсов вида

Уравнениями, связывающими импульсы и скорости, будут:

Величины идентичны с если