Векторное произведение и ротор.

С помощью тензорной плотности Леви-Чивита можно антисимметричный тензор второго ранга поставить в соответствие с векторной плотностью, так что

Отсюда

Применяя уравнение (5.43) к векторному произведению и ротору, определенными соответственно соотношениями (5.37) и (5.38), получим:

Эти две векторные плотности и S, преобразуются аналогично обычным векторам, за исключением изменения знака при зеркальном отражении. Такие векторы в векторном исчислении называют «аксиальными» векторами с целью подчеркнуть, что они в некотором смысле связаны с «вращением».

Эти «аксиальные» векторы действительно связаны с вращением. Например, момент количества движения является векторным произведением радиуса-вектора на количество движения (импульс):

Не считая изменения знака при отражении, этот вектор преобразуется как обычный вектор. Предположим, что из всех только отлично от нуля и что имеет только компоненту Тогда момент количества движения имеет только одну компоненту Зеркальное отражение можно произвести тремя различными способами: каждую координату можно заменить на оставляя при этом остальные две координаты неизменными. остается неизменным при изменении знака и меняет знак в двух других случаях. Обычный вектор изменил бы знак только при замене на