Тензорный анализ.

Рассмотрением тензорных плотностей мы полностью завершили изложение тензорной алгебры; точнее, мы описали последнюю настолько полно, насколько это нам потребуется. Теперь мы перейдем к тензорному анализу. Мы уже видели, что обыкновенные производные скалярного поля представляют собой компоненты ковариантного векторного поля. Однако в общем случае производные тензорного поля не образуют нового тензорного поля.

Рассмотрим производную вектора. Производная связывает значение вектора в одной точке с его значением в другой бесконечно близкой к ней точке. При преобразовании координат векторы в обеих точках имеют различные коэфициенты преобразования, так как последние являются функциями координат. Поэтому производные коэфициентов преобразования входят в закон преобразования производных вектора.

Однако существует способ получения новых тензоров в результате дифференцирования. Этот способ основан на аналогии с дифференцированием в декартовых координатах. Там мы получали производные вектора или тензора следующим образом: сначала вектор переносился в „соседнюю" точку без изменения величины своих компонент, т. е. параллельно самому себе. (Пока мы пользуемся декартовой системой координат, это понятие имеет инвариантный смысл, так как коэфициенты преобразования одинаковы в обеих точках.) Затем этот параллельно перенесенный вектор сравнивается с вектором (как функцией координат) в этой же точке. Их разность представляется как Если бы было возможно в соседней точке ввести понятия „тот же вектор” или „параллельный вектор, разность между параллельно перенесенным вектором

и вектором поля в этой точке преобразовывалась бы как вектор в этой же точке.

Определение параллельного переноса действительна можно ввести сравнительно простым образом. При этом величина смещенного вектора зависит как от исходного вектора, так и от направления переноса. Рассмотрим сперва эвклидово пространство, в котором можно ввести декартову систему координат. В этой системе закон параллельного переноса имеет вид

где представляет собой бесконечно малое смещение.

Введем теперь произвольное преобразование координат (5.46). Компоненты вектора в новой системе координат отметим штрихами. Мы имеем:

Так как преобразуется согласно (5.48), получим

Величины являются приращениями в результате смещения и могут быть обозначены чарез Умножая правую часть уравнения (5.76а) на получим окончательно (так как —

Если нельзя ввести декартову систему координат, мы, сохраняя линейную форму последнего уравнения, предположим, что при параллельном переносе бесконечно малые изменения компонент вектора являются билинейной функцией компонент вектора и компонент бесконечно малого смещения:

Коэфициенты этих новых предполагаемых законов остаются пока совершенно неопределенными. Однако можно найти их законы преобразования. является разностью векторов в двух точках с координатами и При преобразовании координат новые получаются следующим образом:

Уже указывалось, что не преобразуется как вектор, что явилось источником наших затруднений.

Подставим (5.80) в левую часть уравнения

и заменим их выражениями из (5.51) и (5.50). Тогда получим:

Подставляя далее из (5.78), найдем

Так как и произвольны, коэфициеиты при них должны быть равны:

Закон преобразования для получается после умножения

Последний член справа может быть записан в несколько мной форме:

Первый член справа равен нулю, так как выражение в круглых скобках постоянно. (5.81), таким образом, дает:

Аналогичными рассуждениями из (5.79) получим закон преобразования для Он таков же, как и для

Теперь можно наложить на условия, совместимые с их законами преобразования. Эти формулы преобразования содержат два члена. Один из них зависит от в старой системе координат и имеет тот же вид, что и закон преобразования тензоров. Второй член не зависит от и симметричен в своих иижних индексах. Поэтому, если и равны нулю в одной системе координат, они все же будут отличны от нуля в другой системе. Однако симметрия по отношению к нижним индексам

сохраняется во всех системах координат, если она существует хотя бы в одной из них. Это, в частности, справедливо, когда исчезает в одной из систем. Далее, если и равны в одной системе, они остаются равными при произвольном преобразовании координат. Мы увидим, что геометрические соображения приводят нас только к таким системам которые обладают обоими упомянутыми свойствами.

Произведем параллельный перенос двух векторов а, и на бесконечно малое расстояние Изменение их скалярного произведения будет равно

При параллельном переносе двух векторов скалярное произведение остается постоянным тогда и только тогда, когда Г, соответственно равны

Фактически предположение о равенстве основывается не только на том обстоятельстве, что в декартовых координатах скалярное произведение двух постоянных векторов постоянно, но и на более общих соображениях, не связанных с декартовыми системами координат.

Обобщая закон или определение „параллельного" переноса (5.78), (5.79) на тензоры, будем производить „параллельное" смещение согласно следующему правилу:

Это правило основывается на том предположении, что „параллельный перенос" произведения производится по тому же закону, и что дифференцирование произведения:

При параллельном переносе тензора Кронекера, согласно (5.84), получим:

Далее, из (5.86) и (5.85) имеем для «параллельного переноса” произведения

С другой стороны, это произведение равно а. Отсюда:

и в силу этого должно обращаться в нуль. Соответственно имеем:

В дальнейшем различительные индексы I и II будем опускать.

Как уже отмечалось, симметричны в своих нижних индексах, если возможно ввести такую систему координат, в которой равны нулю, хотя бы в локальной области. С этого момента следует все время иметь в виду, что в дальнейшем будут рассматриваться только симметричные При этом Г остаются еще в значительной степени произвольными. Однако они определятся однозначно, если их связать с метрическим тензором с помощью следующего условия: результат параллельного смещения вектора а должен быть одним и тем же как при применении закона (5.78) к его контравариантным координатам, так и при применении закона (5.79) к его ковариантным координатам. В этих двух представлениях соответственно имеют в точке значения где даются с помощью (5.78) и (5.79). Условие того, что эти

два вектора являются представлениями одного и того же вектора в точке выражается формулой:

где

С точностью до членов высшего порядка по отношению к дифференциалам формула (5.88) должна быть справедлива для произвольных и Раскрывая скобки в правой части (5.88), получим:

Подставляя из (5.78) и (5.79), найдем

или

где произвольны; поэтому выражение в скобках должно равняться нулю.

Далее используем условия симметрии и выпишем обращающееся в нуль выражение, три раза переставляяя индексы:

Первое уравнение вычитаем из суммы двух других. После приведения подобных членов получим уравнение:

Отсюда умножением на найдем окончательное выражение для

Это выражение обычно называют символом Кристоффеля второго рода и обозначают знаком

Левая часть уравнения (5.89) называется символом Кристоффеля первого рода. Он обозначается знаком

В декартовых координатах оба символа Кристоффел обращаются в нуль.

Понятие параллельного переноса является независимым от существования метрического тензора. Пространство, в котором определен закон параллельного переноса, назовем пространством аффинной связности, а коэфициентами аффинной связности (affipe connection). Когда задана метрика, ковариантные и контравариантные векторы эквивалентны; при этом принимает значение так что параллельный перенос вектора не зависит от выбора одного из двух возможных представлений..

Вернемся теперь к нашей первоначальной задаче — к образованию новых тензоров при помощи дифференцирования. Рассмотрим тензорное поле, т. е. тензор, компоненты которого являются функциями координат. Возьмем тензор в точке и сместим его параллельно самому себе в точку Вычтем из величины тензорного поля в точке тензор, параллельно перенесенный в эту точку; эта разность также будет тензором. В случае смешанного тензора второго ранга его значение в точке будет

а для значения параллельно перенесенного тензора найдем:

разность этих двух выражений равна

То, что это выражение является тензором, видно из метода его получения. Так как — произвольный вектор, выражение в скобках также является тензором. Этот тензор называется ковариантной производной от по S. Ковариантная производная идентична с обычной производной, если обращается в нуль, как это имеет место, например, в декартовых координатах. Приведем два из часто встречающихся обозначений ковариантной производной Мы будем употреблять последнее.

Ковариантные производные произвольного тензора получаются прибавлением к обычным производным добавочных членов. Каждому контравариантному индексу соответствует добавочный член вида

а к ковариантному индексу член вида

Это определение удовлетворяет правилу дифференциро-Бания произведения

независимо от того, будут ли некоторые из индексов у немыми.

Ковариантные производные метрического тензора равны нулю, так как равно нулю выражение в скобках в (5.88а), В силу того, что ковариантное дифференцирование согласуется с законом дифференцирования произведения, можно поднимать и опускать индексы под знаком дифференцирования: