Векторный анализ.

Теперь можно перейти к простейшим дифференциальным операциям — нахождению градиента и дивергенции. Рассмотрим в трехмерном пространстве скалярное поле V, т. е. функцию трех координат инвариантную относительно преобразований координат. Вид функции V зависит от выбора системы координат, однако значение ее в каждой фиксированной, точке Р не меняется при преобразовании координат.

Каков будет закон преобразования производных по координатам от функции V

Мы должны выразить производные по через производные по х,

Согласно (5.3), являются линейными функциями от и наоборот. Поэтому дхдхк постоянны и равны коэфициентам определяемым уравнениями (5.5). Отсюда

и согласно (5.11)

Три величины преобразуются согласно уравнению (5.11); поэтому они являются компонентами вектора, который, называется градиентом скалярного поля V.

Три функции координат являются компонентами векторного поля, если в каждой точке пространства они преобразуются как компоненты вектора. Функции V. от координат определяются, таким образом, уравнениями

где связаны уравнениями преобразования. Операция градиента приводит к образованию векторного поля из первоначального скалярного.

Операция дивергенции является в некотором смысле противоположной. При заданном вектором поле мы образуем сумму производных каждой компоненты по координате с тем же индексом

Покажем, что это выражение является инвариантом (скаляром):

Метод доказательства совершенно такой же, как и выше. Заменим штрихованные величины и производные нештрихованными

В силу уравнения (5.10) последнее выражение равно правой части уравнения (5.25).

Дивергенция градиента скалярного поля является лапласианом этого поля и представляет также скалярное лоле: