n-мерное пространство.

Первое обобщение совершенно тривиально. Вместо трех координат введем координат описывающих -мерное

многообразие. Предположим опять, что существует инвариантное расстояние между двумя точками

здесь предполагается суммирование по всем значениям индекса Уравнение (5.26) инвариантно относительно группы -мерных ортогональных преобразований

где удовлгтворяют условиям

Все индексы принимают значения от 1 до , суммирование также производится от 1 до . Детерминант опять равен

Векторы определяются законами преобразования

их алгебра и анализ таковы же, как векторные алгебра и анализ в трехмерном пространстве.

Тензоры и тензорные плотности определяются так же, как в трехмерном пространстве, только теперь все индексы пробегают значения от 1 до попрежнему является симметричным тензором.

Тензорная плотность Леви-Чивита определяется следующим образом. есть тензорная плотность ранга антисимметричная по отношению ко всем своим индексам. Неисчезающие ее компоненты равны их знак зависит от четности или нечетности перестановки относительно Векторное произведение не является более векторной плотностью. С помощью тензорной плотности Леви-Чивита из антисимметричного тензора ранга можно образовать антисимметричную тензорную плотность ранга Только при тензорная плотность, соответствующая тензору второго ранга («дуальная» ему), является векторной плотностью.