Нерелятивистская трактовка.

При описании поведения так называемых сплошных сред — упругих тел, жидкостей и газов внимание фиксируется не на индивидуальных частицах, а на некотором выделенном элементе объема. С течением времени одни частицы попадают в этот объем, а другие его покидают. Движение каждой молекулы подчиняется общим законам механики, однако важно сформулировать эти законы так, чтобы в них входили не точечные массы и их положения, а локальные плотности массы, импульса и т. д. „Элемент объема должен содержать достаточно большое количество отдельных частиц, чтобы средние значения имели смысл и являлись разумными непрерывными функциями четырех координат: х, у, z и t. Предположим, что можно определить локальные средние плотность и скорость. Вначале будем придерживаться нерелятивистской точки зрения. Обозначим плотность через , а среднюю скорость через и. Изменение плотности в данном элементе объема определяется количеством втекающего в него вещества

Это уравнение, уравнение непрерывности, выражает закон сохранения массы.

Чтобы получить уравнения движения, введем понятия «частного» («локального») и «полного» («материального») дифференцирования по времени. Рассмотрим некоторую характеристику среды (скаляр, компонента вектора и т. д.) и ее изменение во времени. Если описывается ее изменение во времени в фиксированной точке то в качестве производной нужно взять „частную или локальную да производную . С другой стороны, это изменение можно относить к системе координат, движущейся вместе с выделенным элементом объема среды; иначе говоря, изменение можно описывать так, как это представляется наблюдателю, движущемуся вместе с выделенным элементом материи. Тогда надо брать «полную или материальную

производную, обозначаемую через Последняя связана с частной производной соотношением

Обозначим силу, действующую на единичный объем материи, через Тогда уравнениями движения будут

или, используя (8.2), получим:

Левую часть можно преобразовать к виду:

В силу уравнения непрерывности (8.1) выражение в квадратных скобках обращается в нуль, и мы имеем

Сами силы могут быть двух типов. Во-первых, среда может подвергаться действию гравитационных, электрических или тому подобных полей, в которых сила, действующая на заданный бесконечно малый элемент объема, пропорциональна его величине. Такие силы называются «объемными силами". Будем обозначать их через Кроме того, нужно принять во внимание и другой тип сил, являющихся результатом возникающих внутри материальной среды напряжений. Частицы, принадлежащие двум смежным элементам объема, могут взаимодействовать друг с другом, причем сила их взаимодействия будет пропорциональна

площади соприкосновения этих объемов. Такие силы называются поэтому „поверхностными силами". Компоненты поверхностной силы линейно зависят от компонент вектора ориентированной площадки

где вектор перпендикулярен площадке, а длина его равна площади последней. Сила является линейной функцией в силу того, что полная сила, действующая на бесконечно малый объем, зависит от его размера, но не от формы. Знак выбирается так, чтобы при направлении вектора по внешней нормали получалась сила, действующая со стороны окружающей среды на выбранный элемент объема. Это обычно принимаемое условие ведет к тому, что компоненты тензора напряжений, соответствующего обыкновенному изотропному давлению, становятся положительными.

должен быть симметричным в своих индексах:

В противном случае момент количества движения изолированного тела будет меняться во времени:

где интегрирование производится по объему тела).

Сила, действующая на материю, заключенную в конечном объеме, равна:

где — плотность объемных сил. С помощью теоремы Гаусса второй интеграл по замкнутой поверхности можно преобразовать в объемный:

Таким образом, для плотности силы получаем:

Сравнивая последнее уравнение с (8.5), получим нерелятивистские уравнения движения:

Эти три уравнения вместе с уравнением непрерывности (8.1) определяют поведение сплошной среды под действием напряжений и других сил.

Кроме того, существует закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии в элементе объема определяется балансом потока энергии, протекающего через этот элемент.

Поведение механической системы может быть полностью определено только в том случае, если известны Объемные силы определяются внешними условиями, скажем, наличием гравитационного поля, в то время как напряжения зависят от внутренних деформаций или от потока материи. Например, в случае идеальной жидкости равно давлению умноженному на тензор Кронекера Само давление является функцией плотности и температуры, которая определяется из уравнения состояния жидкости. Нет необходимости определять компоненты напряжения, так как нас будут интересовать только их трансформационные свойства.