Часть I. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Глава I. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ

О системах отсчета уже говорилось, причем упоминалась декартова система координат. В этой главе будет подробно исследована связь между различными системами отсчета и различными системами координат.

Преобразования координат, независящие от времени.

В качестве типичного примера рассмотрим геоцентрическую систему отсчета, т. е. систему отсчета, твердо связанную с Землей. Для точного определения положения точки относительно Земли введем систему координат. Выберем начало координат, скажем в центре земного шара, и направления трех осей, например ось X можно направить из центра Земли в точку пересечения экватора с гринвичским меридианом, ось Y — в точку пересечения экватора с меридианом 90° восточной долготы и ось Z — через северный полюс. Положение любой точки определится тогда тремя действительными числами, координатами данной точки. Движение точки полностью описывается заданием ее трех координат как функций времени. Если эти функции являются постоянными, точка покоится относительно выбранной системы отсчета. Наряду с упомянутой системой отсчета с таким же успехом можно ввести и другие системы, также твердо связанные с Землей. Например, мы можем выбрать начало координат в любой точке поверхности Земли и направить ось X, скажем, на восток, ось У — на север, а ось Z — вертикально вверх, т. е. от центра Земли (Земля предполагается сферической).

Связь между двумя координатными системами полностью определена, если координаты произвольной точки в одной системе заданы как функции ее координат в другой

системе. Обозначим первую систему координат через S, а вторую — через координаты некоторой точки Р относительно S — через , а координаты той же точки относительно . Тогда связаны с уравнениями:

где — координаты начала координат системы в системе S. Постоянные являются косинусами углов между осями систем S и соответствует углу между осями X и — углу между — между X и и так далее.

Переход от одной системы координат к другой называется преобразованием координат, а уравнения, связывающие координаты точки в двух системах координат, называются уравнениями преобразования.

Системы координат необходимы не только для описания положения, но и для представления векторов. Рассмотрим какое-либо векторное поле, например электростатическое поле, в окрестности точки Р. Величина и направление напряженности электрического поля Е в Р полностью определяются заданием компонент Е относительно выбранной системы координат S. Обозначим компоненты Е в точке Р относительно системы S через . Компоненты Е в той же точке Р относительно другой системы, например S, можно получить, зная уравнения преобразования системы координат S в S. Эти новые компоненты не зависят от переноса начала координат, т. е. от постоянных в уравнениях (1.1). является суммой проекций

на ось определяются аналогично и таким образом:

Закон, определяющий преобразование компонент какой-либо величины в заданной точке из одной системы координат в другую, называется законом преобразования.